高三数学理科参考答案

1．C 2．A 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．D

9．16 10．
11．
12．
13．10 14．

15．（1）
……………2分

……………………………3分

∵ 函数
的最小正周期为∴
∴
……………4分

当
时，
的图象不关于直线
对称，应舍去 ………5分

当
时，
的图象关于直线
对称 ………6分

∴
∴
……………………………………7分

（2）令
，
………………………8分

得
，
……………………………………9分

∴ 函数
的单调递减区间为
，
………………10分

令
，
………………………11分

得
，
……………………………………12分

∴ 函数
的单调递增区间为
，
………………13分

16．（1）由正弦定理
∴
……………1分

∴
………………………2分

∴
∴
……………………………3分

由余弦定理
∴
………………5分

（2）若为钝角，则
，∴
∴

∴
∴不可能为钝角，即为锐角 ……………………6分

∴
……………………7分

∴
…………………………8分

………………9分

∵
的面积为
∴
∴
…………10分

∵
∴

∴
∴
…………………12分

∵
∴
…………………13分

17．（1）∵函数
为奇函数 ∴

∴
∵
∴
………………………………2分

∴
∴
……………………3分

令
得
或

1．当
时，在
附近有
；当
时，在
附近有

∴
是函数
的极大值点，极大值为
………………………………5分

2．当
时，在
附近有
；当
时，在
附近有

∴
是函数
的极小值点，极小值为
………………………………7分

（2）
………………………8分

令
得
或
，∵
∴
…………………9分

∵当
时，
∴函数
在
内单调递增；

当
时，
∴函数
在
内单调递减．

∴
是函数
在区间
上的极小值点，也是最小值点 ……………12分

最小值为
∴
符合题意，即为所求 …………13分

18．（1）当
时，
…………………2分

当
时，
…………………4分

∵
，满足
……………………5分

∴数列
的通项公式为
…………………………6分

（2）∵
，
……………7分

即

∴
……………………9分

上式减下式得

…………10分

………………………12分

∴
……………………………………13分

19．（1）显然
，∴
≤0在
上恒成立，且能取到等号 ……2分

≤
在
上恒成立，且能取到等号
……4分

∵
在
上单调递增 ……………5分

∴
…………………………6分

（2）
，且函数
的图象在
上连续不断．

当

时，
在
上单调递减 …………8分

∵
存在唯一
使
…………………10分

又∵
≤
≤

∴
在
上单调递增，在
上单调递减 ……………………12分

注意到
，∴
，∴
，

∴
在
上有唯一零点，即函数
在
内有一个零点 ………14分

20．（1）∵
成等差数列，∴
①

令
，得
②

方程①②联立得
，
……………3分

（2）∵
∴

∴

∴

∵
∴
，
…………………………………5分

∴

∵
……………………7分

∴ 数列
是等差数列 …………………8分

（3）若
成等差数列，则由（2）知，数列
为等差数列，∵

∴
，得
与
矛盾

∴
不成等差数列 ………………………9分

由（2）的证明可知，数列
从第二项起为等差数列，设该数列的公差为
．

∴
，
，

……………………………10分

∴
∴

∴
………………………………12分

∵
∴

∴ 2015是数列
中的项，∴ 存在
且
使得
成立且

………………………………14分