南昌二中2014—2015学年度上学期第三次考试高三数学（理）试卷

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．
( )

A.
B.
C.
D.

2．下列命题的说法错误的是（ ）

A．命题“若
则
”的逆否命题为：“若
, 则
”.

B．“
”是“
”的充分不必要条件.

C．对于命题

则

D．若
为假命题，则
均为假命题.

3．已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
，若数列
满足
，且
单调递增，则实数的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

5．在△ABC中，已知
，
，则
的值为（ ）

A．
B． C．
D．

6．由曲线
，直线
所围成的平面图形的面积为(　　)

A.
B．2－ln 3 C．4＋ln 3 D．4－ln 3

7．若
在区间
上有极值点,则实数的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

8．设函数

的最小正周期为π，且

，则（ ）．

A．
单调递减 B．
在
单调递减

C．
单调递增 D．
在
单调递增

9．函数
在[0，2]上单调递增，且函数
是偶函数，则下列结论成立的是（　　）

A．f（1）＜f（
）＜f（
） B．f（
）＜f（1）＜f（
）

C．f（
）＜f（
）＜f（1） D．f（
）＜f（1）＜f（
）

10．如图，把周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0,1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数
的图像大致为（ ）

二、填空题：本大题共5个小题；每小题5分，共25分．

11．若直线
是曲线
的切线，则的值为 .

12．设函数
若
，则函数
的零点个数有 个.

13．函数
的值域为 ．

14．已知向量
满足
，
，则向量在
上的投影为_________.

15．给出下列四个命题：

①函数
在上单调递增；②若函数
在
上单调递减，则
;③若
,则
;④若
是定义在上的奇函数，则
. 其中正确的序号是 .

三、解答题：本大题共6个小题共75分．每题解答过程写在答题卡上．

16．（本小题满分12分）

已知

（I）求函数
的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值；

（II）若
，
，求
的值.

17．（本小题满分12分）

已知向量
，设函数

（I）求
在区间
上的零点；

（II）在
中，角
的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围．

18．（本小题满分12分）

等差数列
的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数。

（I）求此数列的公差d；

（II）当前n项和
是正数时，求n的最大值。

19．（本小题满分12分）

已知函数
在
处有极大值．

(Ⅰ)当
时，函数
的图象在抛物线
的下方，求
的取值范围．

(Ⅱ)若过原点有三条直线与曲线
相切，求
的取值范围；

20．（本小题满分13分）

已知函数
定义在上，对任意的
，
，且
.

（I）求
，并证明：
；

（II）若
单调，且
.设向量
，
，对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知


．

(I)若
的单调减区间是
,求实数的值;

(II)若
对于定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；

(III)设
有两个极值点
, 且
若
恒成立,求的最大值．

南昌二中2015届高三第三次考试答案

一、选择题 ADCAD DCABD

二、填空题：本大题共5个小题；每小题5分，共25分．

11．
或
; 12.4; 13. ［－7，7］; 14.
; 15. ②④.

三、解答题：本大题共6个小题共75分．每题解答过程写在答题卡上．

16．（本小题满分12分）已知

（1）求函数
的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值；

（2）若
，
，求
的值.

解：（1）∵
，

∴
，

∴函数的最小正周期为
，

∵
，∴
，∴
，
；

（2）由（1）可知
，则
，
，

又∵
，∴
，∴
，

即
.

17．（本小题满分12分）已知向量
，设函数

（1）求
在区间
上的零点；

（2）在
中，角
的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围．

【答案】（1）
、；（2）
.

解：因为向量
，函数
.

所以

3分

（1）由
，得
.

，

，

又
，
或.

所以
在区间
上的零点是
、. 6分

（2）在
中，
，所以
.

由
且
，得

10分

，
12分

18．（本小题满分12分）等差数列
的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数。

（1）求此数列的公差d；

（2）当前n项和
是正数时，求n的最大值。

解：（1）

为整数，

（2）

的最大值为12.

考点：等差数列的通项与求和.

19．（本小题满分12分）已知函数
在
处有极大值．

（Ⅰ）当
时，函数
的图象在抛物线
的下方，求
的取值范围；

（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线
相切，求
的取值范围；

解：（Ⅰ）
，

或
，

当
时，函数在
处取得极小值，舍去；

当
时，
，

函数在
处取得极大值，符合题意，∴
．（3分）

∵当
时，函数
的图象在抛物线
的下方，

∴
在
时恒成立，

即
在
时恒成立，令
，

则
，由
得，
．

∵
，
，
，
，

∴
在
上的最小值是
，

．（6分）

（Ⅱ）
，设切点为
，

则切线斜率为
，

切线方程为
，

即
，

∴
．

令
，则
，

由
得，
．

函数
的单调性如下：





























↗

极大值

↘

极小值

↗



∴当
时，方程
有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线
相切．（12分）

20．（本小题满分13分）已知函数
定义在上，对任意的
，
，且
.

（1）求
，并证明：
；

（2）若
单调，且
.设向量
，
，对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.

解:（1）令
得
，又∵
，
， 2分

由
得
=
，

∵
，∴
. 5分

（2） ∵
，且
是单调函数，∴
是增函数. 6分

而
，∴由
，得
，

又∵因为
是增函数，∴

恒成立，