广州仲元中学高三数学专题训练测试(集合与简易逻辑)

时间：120分钟　　　　分值：150分

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．(2009·全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有 (　　)

A．3个　　　　　　　　　　 B．4个

C．5个 D．6个

解析：依题意得U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，故?U(A∩B)＝{3,5,8}，选A.

答案：A

2．(2010·西安八校联考)设全集U＝R，集合M＝{x|x>0}，N＝{x|x2≥x}，则下列关系中正确的是 (　　)

A．M∪N?M B．M∪N＝R

C．M∩N∈M D．(?UM)∩N＝?

解析：依题意易得N＝{x|x≥1或x≤0}，所以M∪N＝R.

答案：B

3．设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的 (　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：两偶数之和必为偶数，但两个数的和为偶数，这两个数未必都是偶数，如1＋3＝4,3＋5＝8等等，故选A.

答案：A

4．已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，P＝{x|≥1，x∈Z}，则M∩P等于(　　)

A．{x|0

C．{x|－1≤x≤0，x∈Z} D．{x|－1≤x<0，x∈Z}

解析：∵|x－1|≤2?－2≤x－1≤2?－1≤x≤3，

∴M＝{x|－1≤x≤3，x∈R}．

又∵≥1?≥0?≤0?－1

又∵x∈Z，∴P＝{0,1,2,3,4}．

∴M∩P＝{0,1,2,3}＝{x|0≤x≤3，x∈Z}．

答案：B

5．设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x?(A∩B)}，则(A*B)*A等于 (　　)

A．A B．B

C．(?UA)∩B D．A∩(?UB)

解析：画一个一般情况的韦恩图：

图1

由题目的规定，可知选B.

答案：B

6．若命题甲：A∪B
A为假命题，命题乙：A∩B
A也为假命题，U为全集，则下列四个用文氏图形反映集合A与B的关系中可能正确的是(　　)

解析：由命题甲：A∪B
A为假命题可知A∪B＝A，由命题乙：A∩B
A为假命题可知A∩B＝A，所以A＝B，故选D.

答案：D

7．(2010·唐山一模)已知a>1，g(x)＝ax2＋2x，则g(x)<1成立的一个充分不必要条件是(　　)

A．0

C．－2

解析：由g(x)<1，得：ax2＋2x<1，又∵a>1　∴x2＋2x<0　∴－2

答案：B

8．有下列四个命题：①{?}是空集；②若a∈N，则－a∈N；③集合A＝{x|x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合B＝{x∈Q|∈N}是有限集，其中正确命题的个数是 (　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

答案：A

9．(2010·湖北八校联考)设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 (　　)

A．[0，] B．(0，)

C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．(－∞，0)∪(，＋∞)

解析：∵p：|4x－3|≤1，∴p：≤x≤1，綈p：x>1或x<；∵q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，∴q：a≤x≤a＋1，綈q：x>a＋1或x

又∵綈p是綈q的必要而不充分条件，即綈q?綈p，而綈p?/ 綈q，∴?0≤a≤.故选A.

答案：A

10．(2009·衡阳联考)已知命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：函数y＝

f(x＋1)的图象关于原点对称，则y＝f(x)的图象关于点

(－1,0)对称．则 (　　)

A．“p且q”为真 B．“p或q”为假

C．p假q真 D．p真q假

解析：命题p为真命题，命题q中f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴q为假命题．

答案：D

11．(2009·长望浏宁模拟)设数集M＝，N＝，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是 (　　)

A. B.

C. D.

解析：M∩N的“长度”最小值为＋－1＝，故选D.

答案：D

12．(2009·成都二诊)已知全集U，集合A、B为U的非空真子集，若“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件，则称A与B为一组U(A，B)．规定：U(A，B)≠U(B，A)．当集合U＝{1,2,3,4,5}时，所有的U(A，B)的组数是(　　)

A．70 B．30

C．180 D．150

图2

解析：用韦恩图，5个元素填入中间三部分，扣掉A，B为空集，如图2，U(A，B)＝35－2·25＋1＝180.

答案：C

二、填空题(每小题4分，共16分)

13．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(?UC)＝__________.

解析：A∪B＝{2,3,4,5}，?UC＝{1,2,5}，故(A∪B)∩?UC＝{2,5}．

答案：{2,5}

14．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B?A，则m的值为__________．

解析：由题意知，A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，

因为B?A，所以若mx＋1＝0有解，则解为－3或2，

当x＝－3时，m＝；

当x＝2时，m＝－.

若mx＋1＝0无解，则m＝0.

故m的值为或－或0.

答案：或－或0

15．(2009·衡阳联考)对于两个非空集合M、P，定义运算：M?P＝{x|x∈M，x∈P，且x?M∩P}．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈A}，则A?B＝__________.

解析：依题意易得A＝{1,2}，B＝{2,3}，A?B＝{1,3}．

答案：{1,3}

16．(2009·吉林检测)给出下面四个命题：

①m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；

②b＝是a，b，c三个数成等比数列的既不充分又不必要条件；

③函数y＝f(x)存在反函数是y＝f(x)为单调函数的充要条件；

④两个向量相等是这两个向量共线的充分不必要条件．

其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．

解析：①：(m＋3)x＋my－2＝0与mx－6y＋5＝0垂直

?(m＋3)m－6m＝0

?m＝0或m＝3，∴①错．

③：存在反函数但不一定单调

例如：y＝，所以③错．

答案：②④

三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)

17．(12分)(1)写出命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否命题及命题的否定形式(非p形式)；

(2)求使函数y＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴上方的充分必要条件．

解：(1)命题的否定：末位数字是0或5的整数，不能被5整除．否命题：末位数字不是0也不是5的整数，不能被5整除．

(2)由

解得1

由a＝1时符合条件，所以1≤a<19为所求．

18．(12分)解下列含绝对值的不等式：

(1)1<|x－2|≤3；

(2)|x＋2|≥|x|；

(3)|x＋2|>|x－1|－3.

解：(1)对于此双向不等式可化为

?

∴原不等式的解集为{x|－1≤x<1或3

(2)将不等式两边平方得(x＋2)2≥x2，∴x≥－1，

即原不等式的解集为{x|x≥－1}．

(3)分别令x＋2＝0及x－1＝0得x＝－2与x＝1.

当x∈(－∞，－2)时，有－(x＋2)>－(x－1)－3，无解；

当x∈[－2,1)时，有x＋2>－(x－1)－3，

解得－2

当x∈[1，＋∞)时，有x＋2>x－1－3，解得x≥1.

综上知：原不等式的解集为{x|x>－2}．

19．(12分)已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a<0的解集的子集，求实数a的取值范围．

解：解不等式组?{x|2

由于{x|2

令f(x)＝2x2－9x＋a，则?a∈(－∞，9]．

∴实数a的取值范围为(－∞，9]．

20．(12分)已知命题p：x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，而“p且q”为假，求实数m的取值范围．

解：命题p为真时，所以m>2.

命题q为真时，Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0，即1

又∵“p或q”为真“p且q”为假，∴p，q必为一真一假，

若p真q假，则m≥3，

若p假q真，则1

∴实数m的取值范围为(1,2]∪[3，＋∞)．

21．(12分)设函数f(x)＝－4x＋b，且不等式|f(x)|

(1)求b的值；

(2)解关于x的不等式(4x＋m)f(x)>0(m∈R)．

解：(1)由|－4x＋b|

|f(x)|

则，∴，故b＝2.

(2)f(x)＝－4x＋2，则(4x＋m)(2－4x)>0，

即(4x＋m)(4x－2)<0.

当－>，即m<－2时，

当－＝，即m＝－2时，不等式无解；

当－<，即m>－2时，－

综上，当m<－2时，解集为(，－)；

当m＝－2时，解集为?；

当m>－2时，解集为(－，)．

22．(14分)已知关于x的不等式＋1<0的解集为空集，求实数k的取值或取值范围．

解：原不等式化为<0.

(1)若1－k>0即k<1时，

不等式等价于(x－)(x－2)<0.

①若k<0，不等式的解集为{x|

②若k＝0，不等式的解集为?

③若0

(2)若1－k<0即k>1时，

不等式等价于(x－)(x－2)>0.

此时恒有2>，

所以不等式解集为{x|x<，或x>2}．

综上可知当且仅当k＝0时，不等式的解集为空集．