徐闻一中2015届高三11月质量检测

数学试题（理科） 2014-11-15

第Ⅰ卷（选择题 共40分）林

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）

A.
　　　 B.
　 　C.　
　 　D.

3．已知向量
，
，
，则

(A) A、B、C三点共线 (B) A、B、D三点共线

(C) A、C、D三点共线 (D) B、C、D三点共线

4、
的内角
的对边分别为
，若
成等比数列，且
，则

A．
B．
C．
D．

5、设
是两个不同的平面，
是一条直线，以下命题正确的是（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

6．设变量x，y满足约束条件：
.则目标函数z=2x+3y的最小值为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）23

7．已知函数
，若
是
的导函数，则函数
在原点附近的图象大致是（）

A B C D

8、已知
，符号
表示不超过
的最大整数，若函数
只有3个零点，则
的取值范围是（）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（6*5=30分）

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9、函数
的定义域为_____ __.

10、

11. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是

12．已知函数
，给出下列五个说法：

①
. ②若
，则
.③
在区间
上单调递增. ④将函数
的图象向右平移
个单位可得到
的图象.

⑤
的图象关于点
成中心对称．其中正确说法的序号是 .

13. 已知
，数列
的前项和为
，数列
的通项公式为
，则
的最小值为 . ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14.（坐标系与参数方程选做）

在极坐标系中，点
到直线
的距离为 ．

15.（几何证明选讲选做题）

如图，点B在⊙O上， M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，

，若⊙O的半径为
，OA=
OM ，

则MN的长为 ．

三、解答题(本大题共6小题，满分80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分12分）

已知向量m
，n
，
，且m·n＝5．

(Ⅰ) 求|m＋n|；

(Ⅱ) 设向量m与n的夹角为β，求
的值．

17.（本小题满分12分）

在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
．

（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；

（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？

18（本小题满分14分）

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，

SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝
,点E是线段SD上任意一点。

（1）求证：AC⊥BE；

（2）若二面角C-AE-D的大小为
，求线段
的
长。

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

19. (本小题满分14分)

已知数列
的首项
.

（1）证明：数列
是等比数列；

（2）求数列
的前
项和
．

20. (本小题满分14分)

已知椭圆
：
的离心率
，并且经过定点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为椭圆
的左右顶点，
为直线
上的一动点(点
不在x轴上），连
交椭圆于
点，连
并延长交椭圆于
点，试问是否存在
，使得
成立，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分14分）

设函数
（a∈R）．

(Ⅰ) 求函数
的单调区间；

(Ⅱ) 已知
,
(
)是函数
在
的图象上的任意两点，且满足
，求a的最大值；

(Ⅲ) 设
，若对于任意给定的
，方程
在
内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

徐闻一中2015届高三11月质量检测数学试题（理科）答案

一、选择（每题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

C

C

B

A

A



二、填空（每题5分，共30分）

9.
； 10. 30° ； 11.
；12. .①,④ ； 13. -4；14. 15. 。

三、解答（6题，共80分）

16(Ⅰ)由m·n
，解得
， 2分

因为
，所以
，
． 4分

则
，
，所以m＋n
，

所以|m＋n|
． 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，
，则
， 8分

，所以
， 10分

所以
． 12分

17解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.

依条件可知X~B(6，
).

(
)

X的分布列为：

X

0

1

2

3

4

5

6



P

















所以
=
.

或因为X~B(6，
)，所以
. 即X的数学期望为4． ……………5分

（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，

则

答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为
………………………………9分

（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，

则
.

即教师乙在这场比赛中获奖的概率为
.

显然
，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等． …………………12分

18解：（1）以
为坐标原点，建立空间直角坐标系。

。设

则
…………………………………………2分

，

…………………………………………………4分

。

…………………………………………………………
6分

（2）取平面
的一个法向量为
。………
………………………7分

设平面
的一个法向量为
，
，由
得
，

。取
，………………………………………………10分

由
……………………………………………12分

得
，因此
。……………………………………………14分

19. 解：（Ⅰ）∵
，

，

，又
，

，

数列
是以为
首项，
为公比的等比数列．……… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，即
，

．

设
…
， ①则
…
，②

由①
②得
…
，

．又
…
．

数列
的前
项和
………14分

20解：（Ⅰ）由题意：
且
，又

解得：
，即：椭圆E的方程为
（1）……………5分

（Ⅱ）存在，
。

设
，又
，则

故直线AP的方程为：
，代入方程（1）并整理得：

。……………7分

由韦达定理：
……………9分

即
，

同理可解得：

故直线CD的方程为
，即

直线CD恒过定点
.…………………12分

.…………………14-分

21(Ⅰ)
， 1分

由
，得
，该方程的判别式△＝
，

可知方程
有两个实数根
，又
，故取
，

当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单调递减．

则函数
的单调递增区间是
；递减区间是
．4分

（Ⅱ）不妨设
，不等式
转化为
，

令
，可知函数
在区间
上单调递减，故
恒成立，

故
恒成立，即
恒成立． 5分

当
时，函数
单调递增，故当x=1时，函数
取得最小值3，则实数a的取值范围是
，则实数a的最大值为3． 8分

（Ⅲ）
，当
时，
，
是增函数；当
时，
，
是减函数．可得函数
在区间
的值域为
． 9分

令
，则
，

由
，结合(Ⅰ)可知，方程
在
上有一个实数根
，若
，则
在
上单调递增，不合题意，可知
在
有唯一的解
，且
在
上单调递增；在
上单调递减． 10分

因为

，方程
在
内有两个不同的实数根，所以
，且
． 11分

由
，即
，解得
．

由
，即
，
，

因为
，所以