溧阳市2014-2015学年度第一学期期中教学情况调研

高三数学（文科）试题 2014.11

注意事项：1、本试卷满分160分，考试时间120分钟；

2、请将试卷答案做在答卷纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）只需直接写出结果。

1、若复数
满足
是虚数单位），则

2、命题“
”的否定是_______

3、设函数
的定义域为A，不等式
的解集为B，则

4、过点（1，0）且与直线
平行的直线方程是_______（一般式）

5、已知
为单位向量，其夹角为
，则

6、以椭圆
的左焦点为圆心，长轴长为半径的圆的标准方程是_______

7、若曲线
在点
处的切线平行于
轴，则

8、不等式组
表示的平面区域的面积为_______

9、设
为不重合的两条直线，
为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若
，且
，则
（2）若
且
，则

（3）若
，且
，则
（4）若
且
，则

上面的命题中，所有真命题的序号是_______

10、已知一元二次不等式
的解集为
，则
的解集为_______

11、已知双曲线
的焦距为
，右顶点为A，抛物线
的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为
，且
，则双曲线的渐近线方程为_______

12、函数
在
上是单调减函数，则实数
的取值范围是_______

13、设
，过定点A的动直线
和过定点B的动直线
交于点P，则

14、已知实数
满足
，
，则
的最大值是_______

解答题（本大题共6小题，满分90分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15、（本小题满分14分）

已知函数
，且

（1）求A的值；

（2）若
，求
的值。

16、（本小题满分14分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
平面ABCD，点E是PD的中点。

（1）求证：
；

（2）求证：
平面AEC

17、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径

（1）求圆C的方程；

（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和
的面积。

18、（本小题满分16分）

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为
米，高为
米，体积为
立方米，假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000
元（
为圆周率）

（1）将
表示成
的函数
，并求该函数的定义域；

（2）讨论函数
的单调性，并确定
和
为何值时该蓄水池的体积最大。

19、（本小题满分16分）已知椭圆
的离心率为
，且
。

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交
轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为
，MN的斜率为
，求证：点
在直线
上。

20、（本小题满分16分）

已知数列
的前
项和为
，且

（1）证明数列
是等比数列，并求
；

（2）当
时，设
，试确定实数
的值，使数列
为等差数列；

（3）已知集合
，问是否存在正数
，使得对于任意的
，都有
，若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由。

高三（文科）数学参考答案（14。11）

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1、
2、
3、
4、
5、

6、
7、
8、
9、
10、

11、
12、
13、
14、

解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15、解：（1）由
，即
可得……………….2分

……………………………………………………………4分

解得A=3………………………………………………………………………………6分

（2）由
---------8分

解得
……………………………………………………………………….10分

因为
，所以
……………………….……11分

所以
………………………14分

16、证明：（1）∵
平面ABCD，AC
平面ABCD

∴
……………………………………………………………………….2分

又
，
，∴AC
平面PAB…………………………..5分

∵PB
平面PAB ∴
---------------------------------------------------7分

（2）连结BD交AC于点F，连结EF，

∵ABCD是平行四边形

∴点F是BD的中点………………………………………………………………9分

又点E是PD中点

∴PB//EF……………………………………………………………………………11分

∵
平面AEC，
平面AEC

∴PB//平面AEC--------------------------------------------------------------------------14分

17、解：（1）设圆C的圆心C（
，半径为
，则
---------2分

--------------------------------------------4分

∴圆C的方程为
----------------------------------------6分

（2）∵OP=OA，CP=CA，∴OC是线段PA的垂直平分线---------------8分

又OC的斜率为3，∴PA的斜率为
------------------------------------------9分

∴直线PA的方程为
，即
-----------------10分

∵点O到直线PA的距离
-------------------------------11分

OA=
…………………………………………………………..12分

∴
……………………………13分

∴
的面积
……………………14分

18、解：（1）由题意，蓄水池侧面与底面的建造成本分别为
和
---2分

∴
，解得
-----------------------------4分

∴
--------------------------------------------------6分

由
得
，∴函数
的定义域为
----------8分

（2）由（1）知
，令
，得
-----------------10分

当
时，
，∴
在（0，5）上为增函数；--------------------------12分

当
时，
，∴
在
上为减函数；-----------------14分

∴当
时，
最大，此时
--------------------------------------------------------15分

答：函数
的单调增区间为（0，5），单调减区间为
，当
时
最大此时
时蓄水池的体积最大。----------------------------------------------------------------16分

19、解：（1）由
解得
-----------------------------------------------3分

∴椭圆C 的方程为
--------------------------------------------------------------4分

（2）由（1）知：
，
，

∴直线AD的方程为
-----------------------------------------------------------5分

由题意，直线BP的方程为

，且

由
解得
……………………………………….6分

设
，则由
，得
…..7分

∴
，∴
…………………………………………………8分

…………………………………………………………….9分

∴
…………………………………………………………….10分

设
，则由P，D，N三点共线得，
………………………………..11分

即
，∴
∴
…….13分

所以MN的斜率
…………………………………..15分

∴
，即点
在直线
上。………………………………16分

20、解（1）∵
，∴当
时，

两式相减得
得
……………………………………….2分

∴
恒成立，且
，----------------------------------------------------3分

∴
是等比数列，-----------------------------------------------------------------------------4分

又
的首项
，公比为
， ∴
-------------------------------------------5分

（2）当
时，由（1）得

∴
--------------------------------------------6分

要使
为等差数列，则

即

解得，
-----------------------------------------------------------------------------------8分

又当
时，
，∴
为等差数列----------------------------------------9分

综上所述：
------------------------------------------------------------------------------10分

（3）若
，则
，
， ∴
，不合题意；------------------11分

若
则
，
，∴
，不合题意；---------------12分

若
，则

∴
-------------------------------------------------------------------------14分

要使
，则
，解得，
-----------------------------------15分

综上所述，满足条件的正数
存在，
的取值范围为
------------------16分