一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设集合A＝{(x，y)|－＝1}，B＝{(x，y) |y＝
}，则A∩B的子集的个数是(　　)

A．8　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．1

2．在等比数列
中，
，则
（ ）

A．
或—8 B．
或
C．
或8 D．
或

3．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x

4．已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)

A. B. C．－ D．－

5．函数f(x)＝2cos2x－sin2x(x∈R)的最小正周期和最小值分别为 (　　)

A．2π，3 B．2π，－1 C．π，3 D．π，－1

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
的值为(　　)

A．－ B．－5 C．－ D．－6

7．若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
　　　　D．

8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，数列{|an|}的前n项和Tn，则
的最小值是(　　)

A．
　　 　 B．
　　 　 C．
　　 　 D．3

9．若满足条件AB＝，C＝的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是(　　)

A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(，2)

10．已知x，y满足不等式组目标函数z＝ax＋y只在点(1,1)处取最小值，则有(　　)

A．a>1 B．a>－1 C．a<1 D．a<－1

11．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f ′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)

A．{x|x>0} B．{x|x<0} C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0

12．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且
，则
的取值范围是( )

A．[0,3) B．(0,2) C．[2，3) D．(0,4]

第II卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．若关于x的不等式2－x2=|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．

14．已知
是互相垂直的两个单位向量，若向量
与向量
的夹角是钝角，则实数的取值范围是

15．已知
，则
的最小值是

16．下列结论：

①已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；

②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；

③函数f(x)＝lg(x＋)是奇函数；

④在△ABC中，若sinAcosB＝sinC，则△ABC是直角三角形；

⑤“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件；

⑥已知a、b为平面上两个不共线的向量，p：|a＋2b|＝|a－2b|；q：a⊥b，则p是q的必要不充分条件．其中正确结论的序号为________．

三、解答题（共70分）

17．（本小题满分10分）

若函数f(x)＝－x3＋6x2－9x＋m在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．

(1)证明：f(x)在定义域上是增函数；

(2)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f()≥2的x的取值范围．

19．（本小题满分12分）

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量
，
，且

(1)求角B的大小；

(2)设f(x)＝cos＋sinωx (
)，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调区间．

20．（本小题满分12分）

已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x)＝2x＋2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2n·an，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn.

21．（本小题满分12分）

若椭圆C1：＋＝1(00)的焦点是椭圆C1的一个顶点．

(1)求抛物线C2的方程；

(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．

22．（本小题满分12分）

椭圆的两焦点坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆过点P(1，－ )．

(1)求椭圆方程；

(2)若 A为椭圆的左顶点，作AM⊥AN与椭圆交于两点M、N，试问：直线MN是否恒过x轴上的一个定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由．

[解析]　结合双曲线－＝1的图形及指数函数y＝
的图象可知，有3个交点，故A∩B子集的个数为8.

2．[答案]　B

[解析]　由已知
，所以
，所以
，故选B

3．[答案]　C

[解析]　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∵e＝＝，c＝，∴＝＝，∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C.

4．[答案]　D

[解析]　圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0恒过点A(0，－4)，所以当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，直线CA应垂直于直线kx＋y＋4＝0，直线CA的斜率为－5，所以－k＝，k＝－.

5．[答案]　D

[解析]　由题可知，f(x)＝2cos2x－sin2x＝cos2x－sin2x＋1＝2sin(－2x)＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，最小值为－1，故选D.

6．[答案]　C

[解析]　 ∵
为奇函数，
，且
周期为2

∴

7．[答案]　C

[解析]　解法1：f ′(x)＝－ax－2＝，由题意知f ′(x)<0有实数解，∵x>0，∴ax2＋2x－1>0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1－1.

解法2：f ′(x)＝－ax－2＝，

由题意可知f ′(x)<0在(0，＋∞)内有实数解．

即1－ax2－2x<0在(0，＋∞)内有实数解．

即a>－在(0，＋∞)内有实数解．

∵x∈(0，＋∞)时，－＝(－1)2－1≥－1，∴a>－1.

8．[答案]　C

[解析] 由已知

，

当
时，有最小值

9．[答案]　C

[解析]　解法一：若满足条件的三角形有两个，则＝sinC

解法二：由条件知，BCsin<

10．[答案]　D

[解析]　作出可行域如图阴影部分所示．

由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.

只在点(1,1)处z取得最小值，则斜率－a>1，

故a<－1，故选D.

11．[答案]　A

[解析]　构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f ′(x)－ex＝ex[f(x)＋f ′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.

12．[答案]　 B

[解析]　延长F1M交PF2或其延长线于点G，∵
，∴

又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|且M为F1G的中点，∵O为F1F2的中点，

∴OM//F2G.，且|OM|=|F2G|. ∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF2|－|PF1||，

∴
＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.

∵4－2<|PF2|<4或4<|PF2|<4＋2，∴|
∈(0,2)．

解法2：

而
，∴|
∈(0,2)．

13．[答案]　[－，2)

[解析]　y＝2－x2是开口向下的抛物线，y＝|x－a|是与x轴交于(a,0)点的“V字形”折线，显然当a＝2时，y＝2－x2(x<0)的图象都在折线下方，由2－x2＝x－a得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4a＋8＝0得a＝－，此时y＝x－a与y＝2－x2(x<0)相切，故－≤a<2.

14．[答案]　

[解析]　 ∵向量
与向量
的夹角是钝角，∴
，且

由
，且
，得

令
，则
，于是

故，
，且

15．[答案]　

[解析]　 由已知
，∴

∴

当且仅当
时，取最小值

16．[答案]　③④⑤

[解析]　 当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故①不正确；②的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；f(－x)＝lg(－x＋)＝lg()＝－f(x)，所以③正确；由sinAcosB＝sinC得sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以cosAsinB＝0，所以cosA＝0，即A＝，所以△ABC是直角三角形，所以④正确；∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1化为＋＝1，故表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．∴⑤是真命题；由于|a＋2b|＝|a－2b|?(a＋2b)2＝(a－2b)2?a·b＝0?a⊥b，因此p是q的充要条件，∴⑥是假命题．

17．[解析]　 f ′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x－1)(x－3)，----------------------------------2分

由f ′(x)=0得， x=1或x=3，

f(x)的值随x的变化情况如下表：

x

0

(0,1)

1

(1,3)

3

(3,4)

4



f ′(x)



－

0

＋

0

－





f(x)

m

递减

m－4

递增

m

递减

m－4



 -------------6分

由已知f(x)的最小值为f(1)＝f(4)＝m－4＝2，∴m＝6 ------------8分

∴f(x)在[0,4]上的最大值为f(0)＝f(3)＝m＝6 -------------10分

18．[解析]　(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0. -------------2分

令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，故f()＝－f(x)． -------------4分

任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1

由于>1，则f()>0，从而f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．------6分

(2)由于f()＝－1，而f()＝－f(3)，故f(3)＝1，

在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2， ------------8分

又由(1)知－f()＝f(x－2)，

故所给不等式可化为f(x)＋f(x－2)≥f(9)，即f[x(x－2)]≥f(9)， ------------10分

∴解得x≥1＋，

∴x的取值范围是[1＋，＋∞)． ------------12分

19．[解析]　(1)由m∥n得，bcosC＝(2a－c)cosB，

∴bcosC＋ccosB＝2acosB.

由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，

即sin(B＋C)＝2sinAcosB.

又B＋C＝π－A，∴sinA＝2sinAcosB. ------------2分

又sinA≠0，∴cosB＝，而B∈(0，π)，∴B＝. ------------4分

(2)由题知f(x)＝cos(ωx－)＋sinωx＝cosωx＋sinωx＝sin(ωx＋)， -----6分

由已知得
，∵
，∴
，f(x)＝－sin(2x－)，------------8分

由
，得

由
，得

故，函数f(x)的单调递增区间是
；

单调递减区间是
------------12分

20．[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，

∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x， ------------2分

∴Sn＝n2＋2n，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n)－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1，

又a1＝S1＝3，适合上式，∴an＝2n＋1. ------------6分

(2)bn＝(2n＋1)·2n，

∴Tn＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n＋1)·2n，

∴2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n＋1)·2n＋1， ------------8分

相减得－Tn＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1

＝6＋2·－(2n＋1)·2n＋1＝(1－2n)·2n＋1－2，

∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2. ------------12分

21．[解析]　(1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝，

由离心率e＝＝＝得，b2＝1. ------------2分

∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，

∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y. ------------4分

(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，

∵y＝x2，∴y′＝x，∴切线l1、l2的斜率分别为x1、x2，

当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4， ------------8分

由得x2－4kx－4k＝0，

由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.

又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1，满足Δ>0

∴直线l的方程为x－y＋1＝0. ------------12分

22．[解析]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意c＝，且椭圆过点P(1，－ )，

∴?∴椭圆方程为＋y2＝1. ------------4分

(2)解法1：由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点
，设其方程为

由
得