选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．以下判断正确的是 （ ）

A．函数
为上的可导函数，则
是
为函数
极值点的充要条件．

B．命题“
”的否定是“
”．

C．命题“在
中，若
”的逆命题为假命题．

D． “
”是“函数
是偶函数”的充要条件．

3．已知复数
，则复数在复平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是（ ）

A．
B．
＋6

C．11π D．
＋3

6．执行右边的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填

A．n≤9？ B．n≤10？

C．n≥10？ D．n≥11?

7．函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（其中（ω>0，|φ|<）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sinωx的图象，则只要将f（x）的图象 （ ）

A．向右平移个单位

B．向右平移个单位

C．向左平移个单位

D．向左平移个单位

8.能够把椭圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数
称为椭圆
的“亲和函数”，下列函数是椭圆
的“亲和函数”的是（　　）

A．
B．

C．
D．

9.若函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是（ ）

A． B．
C． D．

10.已知函数
是上的偶函数，且在区间
是单调递增的，若
，
，
，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

11.关于方程
的两个根
以下说法正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

12. 已知双曲线
上一点
，过双曲线中心的直线交双曲线于
两点，记直线
的斜率分别为
，当
最小时，双曲线离心率为（ ）

A.
B．
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

13已知向量
，其中
，

若
，则
的值等于　　 　　.

14如图所示的程序框图，若输入
的值分别为
，执行

算法后输出的结果是　　　　　.

15
中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且

，则
　　　　　　.

16一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
的正四面体容器内

可向各个方向自由运动（在小球运动过程中，小球和容器内壁都

不会发生形变），则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积

为　　　　　　　.

三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知等差数列
的前项和为
，

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若
与
的等差中项为18，
满足
，求数列
的前项和．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，

．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；

（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为
，求k的值.

19．（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面
平面
，
与
是边长为的等边三角形，
，
和平面
所成的角为
，且点在平面
上的射影落在
的平分线上．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的中心为原点
，离心率
，其一个焦点在抛物线

的准线上，若抛物线
与直线
相切．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若点满足：
，其中
是
上的点，直线
与
的斜率之积为
，试说明：是否存在两个定点
，使得
为定值？若存在，求
的坐标；若不存在，说明理由．

21. （本小题满分12分）已知函数
.

（Ⅰ）求过原点且与函数
的图象相切的直线方程；

（Ⅱ）设
，讨论函数
在区间
上零点的个数；

（Ⅲ）记
…
.若对任意正整数，
对任意
恒成立，则称
在
上是“高效”的.试判断
是否是
上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理由.

22．（本小题满分10分）

已知函数
，
，
图象与轴异于原点的交点M处的切线为
，
与轴的交点N处的切线为
， 并且
与
平行.

（1）求
的值；

（2）已知实数
，求函数
，
的最小值；

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

（13） （14） （15）
（16）

三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）当
时，
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当
时，
=
，　　……2分

∵
是等差数列，∴
. 　　　　　　　　　　　……4分

（Ⅱ）依题意
∴
.

又
， ……8分

又
，得
，

∴
，

，即
是等比数列. ……10分

∴数列
的前项和
=
. ……1

18（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE.

∵AB∥DE，ABDE3k，∴四边形ABED为平行四边形， ……2分

∴BE∥AD且BEAD4k.

在△BCE中，∵BE4k，CE3k，BC5k，∴BE2＋CE2BC2，

∴∠BEC90°，即BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD． ……4分

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴AA1⊥CD．又AA1∩ADA，

∴CD⊥平面ADD1A1. ……6分

（Ⅱ）以D为原点，
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以

，

，

．

设平面AB1C的法向量n (x，y，z)，

则由
得

取y2，得
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……9分

设AA1与平面AB1C所成角为θ，则

sin θ|cos〈
，n〉|

，

解得k1，故所求k的值为1. ……12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意知，
，
都是边长为2的等边三角形，取
中点
，

连接
，则
，
，

又∵平面
⊥平面
，∴
⊥平面
，作
⊥平面
，

那么
，根据题意，点落在
上，

∴
，易求得
，

∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
平面
……………6分

（Ⅱ）解法一：作
，垂足为
，连接
，

∵
⊥平面
，∴
，又
，

∴
平面
，∴
，

∴
就是二面角
的平