河南省豫南九校2015届高三（上）第二次联考

数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（　　）

　 A． 1 B．
C．
D． 3

2．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（　　）

　 A． [﹣1，2] B． [﹣2，﹣1] C． [﹣1，1] D． [1，2]

3．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（　　）

　 A． y=sinx B． y=﹣x2+
C． y=﹣x3 D． y=e|x|

4．某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（　　）

　 A． 45 B． 50 C． 55 D． 60

5．下面几个命题中，真命题的个数是（　　）

①命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x；

②“方程x+
=a有解”是“a≥2”的必要不充分条件；

③设函数f（x）=
，总存在x∈（﹣∞，﹣1）使得f（x）≥0成立；

④若a，b∈[0，2]，则不等式a2+b2＜
成立的概率
．

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

6．在等比数列{an}中，a1=27，a4=a3a5，则a6=（　　）

　 A． 3﹣2 B． 3﹣3 C． 38 D． 39

7．将函数h（x）=2sin（2x+
）的图象向右平移
个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则f（
）=（　　）

　 A． 4 B． 2﹣
C．
﹣2 D． 2+

8．如图，程序框图所进行的是求2+22+23+24+25的和运算，则①处条件是（　　）

　 A． n＞6 B． n＜5 C． n＞5 D． n＜6

9．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（　　）

　 A．
B．
C． 4
D．

10．已知函数f（x）=（
）x﹣log
x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（　　）

　 A．恒为负 B． 等于零 C． 恒为正 D． 不大于零

11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

12．已知点O是平面上的一定点，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若动点P满足
﹣
=λ（b
+c
），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

　 A．重心 B． 垂心 C． 内心 D． 外心

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．若函数f（x）=cosx+2xf′（
），则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是　_________　．

14．已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若cosC=
，且sinC=
sinB，则△ABC的内角A=　_________　．

15．已知变量x，y满足约束条件
，目标函数Z=e2x+y的最大值为　_________　．

16．设f（x）=
，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为　_________　．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=log4|
|，求数列{
}前n项和Tn．

18．（12分）欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童 肥胖问题日益严重的主要原因之一．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到列联表：平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．

常喝

不常喝

合计



肥胖



2





不肥胖



18





合计





30



已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
．

（1）请将列联表补充完整

（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由

（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？

参考数据：

P（K2≥K）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式：K2=
，其中n=a+b+c+d）

19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF=6．

（Ⅰ）求证：AC⊥BE

（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

20．（12分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2
，离心率e=
．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）若过椭圆C右焦点F2作垂直于线段MQ的直线L，交椭圆C于A，B两点，求四边形AMBQ面积S．

21．（12分）已知函数f（x）=﹣
+lnx﹣2

（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．

（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．

【选考题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-1：几何证明选讲

22．（10分）如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ=∠PBC．求证：

（1）
；

（2）△ADQ∽△DBQ．

选修4-4：坐标系与参数方程

23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为
．

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|?|PB|的值．

选修4-5：不等式选讲

24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．

（1）求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．

高三数学答案（文）

一、选择题：本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。

1-5 CBCDB 6-10 ADDAA 11-12 BC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.
14.

15.
16.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

设数列
的前n项和为
，对任意的正整数n，都有
成立。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
前n项和
。

17．（Ⅰ）解：当
时，
…2分

又

………4分

∴数列
是首项为
，公比为
的等比数列，

∴
………6分

（Ⅱ）
， ………8分

所以
………10分

………12分

18.（本小题满分12分）

欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童肥胖问题日益严重的主要原因之一。为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖。

常喝

不常喝

合计



肥胖



2





不肥胖



18





合计





30



已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为
。

（1）请将上面的列联表补充完整

（2）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由

（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



(参考公式：
，其中
)

18.解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，

常喝

不常喝

合计



肥胖

6

2

8



不胖

4

18

22



合计

10

20

30



------------- 3分

（2）由已知数据可求得：

因此有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关。------------- 7分

（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有

AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种。其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF， DE，DF。故抽出一男一女的概率是
------------12分

19.（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD是正方形，

（Ⅰ）

（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积

19（Ⅰ）证明：

------------1分

四边形ABCD是正方形

------------2分

------------4分

------------6分

（Ⅱ）

------------12分

20. （本小题满分12分）已知椭圆C：
的长轴左右端点M,N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为
，离心率

（Ⅰ）求椭圆的方程。

（Ⅱ）若过椭圆
的中心O作直线
与线段MQ相交，交椭圆
于
两点，求四边形AMBQ面积S的最大值.

20.（1）解
椭圆C：
的长轴左右端点M,N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为
，离心率

------------2分

------------4分

椭圆的方程为
------------5分

由（1）知
，
------------6分

直线MQ斜率为
，又


直线L斜率
------------7分

直线L：
------------8分

由
得
------------9分

设

由韦达定理
------------10分

------------11分

------------12分

21.（本小题满分12分）

已知函数

若曲线
在点
处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值。

若对任意
都有
成立，试求a的取值范围

解（1）

------------2分

又
曲线
在点
处的切线与直线y=x+2垂直

2a+1=-1
a=-1------------4分

定义域为

对任意
都有
恒成立

------------5分

当
时

单调递增

此时
不合题意------------7分

当a<0时f(x)在（0，-2a)单调递减，在
单调递增

------------9分

令g(x)=lnx+x-1则
单调递增且g(1)=0

-2a>1------------11分

综上
------------12分

22．（本小题满分10分）选修4 – 1：几何证明选讲

如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ = ∠PBC。求证：

（1）
；

（2）ΔADQ ∽ ΔDBQ。

证明：（Ⅰ）连结
.因为△
∽△
，

所以
.

同理
.

又因为
，所以
，

即
. ------------5分

（Ⅱ）因为
，
，

所以△
∽△
，即
.

故
.

又因为
，

所以△
∽△
. ------------10分

23（本小题满分10分）选修4 – 4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l经过定点
，倾斜角为

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求
的值。

23．解：（Ⅰ）圆C：
，直线l：
…………….5分

（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程可得
，……………………….8分

设
是方程的