河南省焦作市2015届高三（上）期中考试

数学试卷（理科）

一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）

1．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1＜y＜3}，则A∩B=（　　）

　 A． [1，2） B． [0，3） C． （1，2] D． [0，3]

2．“a=1”是“复数a2﹣1+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数”的（　　）

　 A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

　 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件

3．已知双曲线
﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，则该双曲线的离心率为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

4．已知log7[log3（log2x）]=0，那么x
等于（　　）

　 A．
B．
C．
D．

5．如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（　　）

　 A． q=
B． q=
C． q=
D． q=

6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（　　）

　 A． 4种 B． 10种 C． 18种 D． 20种

7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（　　）

　 A．若l⊥α，α⊥β，则l?β B． 若l∥α，α∥β，则l?β

C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

8．要得到函数f（x）=sin（2x+
）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（　　）

　 A． 向左平移
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）

　 B． 向左平移
个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的
（横坐标不变）

　 C． 向左平移
个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的
（横坐标不变）

　 D． 向左平移
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）

9．设z=x+y，其中实数x，y满足
若z的最大值为12，则z的最小值为（　　）

　 A．﹣3 B． 3 C． ﹣6 D． 6

10．将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（4，0）重合，点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n=（　　）

　 A．
B．
C．
D．

11．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（　　）

　 A．①② B． ①③ C． ②④ D． ③④

12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=
被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数有如下四个命题：

①f（f（x））=0；

②函数f（x）是偶函数；

③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；

④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

其中的真命题是（　　）

　 A．①②④ B． ②③ C． ③④ D． ②③④

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．
的展开式中，常数项为　_________　．（用数字作答）

14．已知向量
，
夹角为45°，且|
|=1，|2
﹣
|=
，则|
|=　_________　．

15．函数f（x）=x3+
x2﹣6x+m的图象不过第Ⅱ象限，则m的取值范围是

　_________　

16．已知cos
=
，cos
cos
=
，cos
cos
cos
=
，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是　_________　．

三、解答题

17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn﹣2bn+3=0，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=
，求数列{cn}的前2n+1项和P2n+1．

18．（12分）某家电专卖店在国庆期间设计一项有奖促销活动，每购买一台电视，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖：

奖次

一等奖

二等奖

三等奖



随机数组的特征

3个1或3个0

只有2个1或2个0

只有1个1或1个0



奖金（单位：元）

5m

2m

m



商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，并产生了20个随机数组，试验结果如下：

247，235，145，324，754，500，296，065，379，118，520，161，218，953，254，406，227，111，358，791．

（1）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，求至少有1组获奖的概率；

（2）根据以上模拟试验的结果，将频率视为概率：

（i）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；

（ii）若本次活动平均每台电视的奖金不超过85元，求m的最大值．

19．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB上异于A，B的点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如图2．

（Ⅰ）求证：AB∥平面DFC；

（Ⅱ）当三棱锥F﹣ABE体积最大时，求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）已知圆C经（x﹣1）2+（y﹣2）2=5经过椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过原点O的射线l在第一象限与椭圆E的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求
?
的最大值．

21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣
x2，x∈[0，2]，a＞0．

（1）若存在x0∈[0，2]，使得函数y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率k≤1，求实数a的取值范围；

（2）求函数f（x）的最小值．

请考生从22、23、24中任选一题作答。

22．（10分）（2014?西藏一模）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．

（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；

（Ⅱ）求BC的长．

23．已知直线l的参数方程为
（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2
sin（θ+
），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求
+
的值．

24．若a＞0，b＞0，
+
=2
．

（1）求a3+b3的最小值；

（2）是否存在a，b，使得2a+3b=4？并说明理由．