广东省揭阳市一中、潮州金山中学、广大附中

2015届高三上学期期中考试数学（文）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集
，集合
，则
（）

A.
B.
C.
D.

2.已知点
在第三象限，则角
的终边在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（　 　）

A．
B.
C．
D．

4.已知函数
，则实数
的值等于( )

A.2 B.3 C.4 D.5

5． 下列函数中，周期为
，且在
上为增函数的是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．如图，在
中，
,记
，

，则
=（ ）.

A．
B．
C．
D．

7.设
是直线,
是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）

A．若
B．若

⊥
,则

C．若
,
⊥
,则

D．若
,


,则
⊥

8.若实数
满足条件
，则
的最大值是 ( )

A.8 B.2 C.4 D.7

9. 若0≤x≤2，则f(x)=
的最大值( )

A．
B．2 C．
D．

10．定义在R上的函数
，若对任意
，都有
，

则称f(x)为“
函数”，给出下列函数：

①
；②
；③
；④
其中是“
函数”的个数为（ ）.

A．
B．
C．
D．

二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11.
中，角
的对边分别为
，且
,则
的面积为 .

12. 若
，则
的值为____________

13.?已知函数
，
(a>0)，若
，
，使得
，则实数
的取值范围是 .

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．(本小题满分12分）

已知向量
与

（Ⅰ）若
与
互相垂直，求
的值

（Ⅱ）若
，求
的值

17．(本小题满分12分）

在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围

成的区域(含边界)上．

(1)若＋＋＝0，求||；

(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

18. (本小题满分14分）

已知

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）把
图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到
的图像，求函数
的解析式；

（Ⅲ）
在
上最大值与最小值之和为
，求
的值.

19.（本小题满分14分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PD，
，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．

（Ⅰ）求证：AD
平面PBE；

（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ;

（Ⅲ）若
，试求
的值．

20.（本小题满分14分）

已知函数

（1）若函数
在
处取得极值，求实数
的值；

（2）若函数
在
不单调，求实数
的取值范围；

（3）判断过点
可作曲线
多少条切线，并说明理由．

21．(本小题满分14分)

已知函数
，其中常数
.

(1) 求
的单调增区间与单调减区间；

（2）若
存在极值且有唯一零点
，求
的取值范围及不超过
的最大整数
.

期中考数学（文科）参考答案及评分标准

BBCAD ABDDC

…………8分

即
…………10分

…………12分

17. 解：(1)方法一：∵＋＋＝0，

又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，

∴解得 …………4分

即＝(2，2)，故||＝2. …………6分

方法二：∵＋＋＝0，

则(－)＋(－)＋(－)＝0，

∴＝(＋＋)＝(2，2)，…………4分

∴||＝2. …………6分

(2)∵＝m＋n，

∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，

∴ …………8分

两式相减得，m－n＝y－x，

令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，

故m－n的最大值为1. …………12分

18. 解：（Ⅰ）

+a

…………4分

的最小正周期
…………6分

（Ⅱ）

所以函数
…………10分

（Ⅲ）

，

即
…………14分

19. （Ⅰ） 证明：由E是AD的中点， PA=PD，所以AD⊥PE； ………2分

又底面ABCD是菱形，∠BAD=60

所以AB=BD，又因为E是AD的中点 ，

所以AD⊥BE， ………4分

又PE∩BE=E　所以AD⊥平面PBE. ………… 5分

（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连OQ；因为O是AC的中点，

Q是PC的中点，所以OQ//PA， ………………8分

又PA
平面BDQ，OQ
平面BDQ，所以PA//平面BDQ. ……………… 9分

（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为
.

所以
，
, ………………10分

又因为
，且底面积
， ………………12分

所以
. ……… 14分

20.【解析】

（1）∵
，
，
，

∴
……………………………………1分

∵
∴
∴
……………………2分

∴
，显然在
附近
符号不同，

∴
是函数
的一个极值点 ………………………………………3分

∴
即为所求 ………………………………………………………4分

（2）∵
，
，
，

若函数
在
不单调，

则
应有二不等根 …………………………5分

∴
∴
……………………………7分

∴
………………………………… ……………8分

（3）∵
，∴
，

∴
，设切点
，

则
纵坐标
，又
，

∴ 切线的斜率为
，得
……10分

设

，∴

由
0，得
或
，

∴
在
上为增函数，在
上为减函数，

∴ 函数

的极大值点为
，极小值点为
，

∵
∴ 函数

有三个零点 ……………13分

∴ 方程
有三个实根

∴ 过点
可作曲线
三条切线 ……………………………14分

21.解（1）
……………………………………1分

当
时，
，

函数
为增函数. …………………………………………………………………3分

②当
时，
，

其中
…………………………………4分

的取值变化情况如下表：





























单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增



………………………………………………………………………………………6分

综合①②知当
时，
的增区间为
，无减区间；

当
时，
的增区间为
与
，

减区间为
…………………7分

（2）由(1)知当
时，
无极值；…………………………………………………8分

当
时，
知

的极大值
，
的极小值
，

故
在
上无零点. ………………………………………………………………10分

，又
，

故函数
有唯一零点
，且
.………………………………………11分

又
，记
，

则
，

从而
，
…………………………………………13分

故
的取值范围是
不超过
的最大整数
………………………14分