惠州市2015届高三第二次调研考试数学试题 (文科） 2014.10

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．

参考公式：锥体的体积公式
，其中
为锥体的底面积，
为锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.设集合
，集合
，则
＝ ( )

A．
B．
C．
D．

2.复数
(为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知命题

，则
为 ( )

A．
B．

C．
D．

4.已知向量
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

5.下列函数中，在区间
上为增函数的是( )

A．
B．
C．
D．

6.若变量满足约束条件
，则
的最小值为( )

A．
B． C．
D．

7.已知函数

的部分

图象如图所示,则函数
的表达式是( )

A.
B.

C.
D.

8.方程
有实根的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9.圆心在
，半径为
的圆在轴上截得的弦长等于 ( )

A．
B．
C．
D．

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数
(
表示不大于的最大整数）可以表示为 ( )

A．
　　　　B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分）

（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

11.抛物线
的准线方程是 .

12.在等比数列
中，
，
，则
_________.

13.在△
中，
，
，
，则
_________.

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（为参数）.以原点
为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，则直线
和曲线
的公共点有_______ 个.

15.（几何证明选做题）如图，在半径为3的圆
中，直径
与

弦
垂直，垂足为（在、
之间）. 若
，

则
________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）

设向量
，
，
.

（1）若
，求的值；

（2）设函数
，求
的最大值．

17.（本小题满分12分）

移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.

(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；

(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.

18.（本小题满分14分）

如图，菱形
的边长为
，
，
.将菱形
沿对角线
折起，得到三棱锥
，点
是棱
的中点，
.

（1）求证：
平面
；

（2）求三棱锥
的体积.

19.（本小题满分14分）

已知数列
的前项和为
，且满足
，
(
且
)．

（1）求证：数列
是等差数列；

（2）求
和
.

20.（本小题满分14分）

已知椭圆
过点
，点
是椭圆的左焦点，点、
是椭圆
上的两个动点，且
、
、
成等差数列．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）求证：线段
的垂直平分线经过一个定点.

21.（本小题满分14分）

设函数
，
且
. 曲线
在点
处的切线的斜率为
.

（1）求
的值；

（2）若存在
，使得
，求的取值范围.

惠州市2015届高三第二次调研考试

文科数学答案与评分标准

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























1【解析】方程
解得
，则

2【解析】由题意可知，
，则对应的点为

3【解析】将全称命题改为特称命题即可

4【解析】
，则

5【解析】
，所以
在区间
上为增函数.或者用排除法

6【解析】由约束条件画出可行域如图所示，

则根据目标函数画出直线
，

由图形可知将直线
平移至点取得的

最小值，解方程组

得
，即
代入可得
.

7【解析】从图可知
，且
，得
，故
，将点

的坐标代入函数
，且
得
所以函数

的表达式为
.

8【解析】方程
有实数根时，
得
，由几何概型知
.

9【解析】圆心
到轴的距离为
，圆半径
，由勾股定理知

半弦长为
，则弦长为
.

10【解析】当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除

以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选

代表人数与该班人数之间的函数关系，用取整函数
(
表示不大于的最大整

数)可以表示为
．或者用特值法验证也可．

二、填空题（本大题共5小题，共20分。第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．）

11．
12．
13．
14． 15．

11【解析】化为抛物线的标准方程
，则
，得
，且焦点在轴上，所以
，即准线方程为
.

12【解析】由等比数列的性质知
，故
.

13【解析】因为
，所以
，而
，所以
，所以
.

14【解析】直线的普通方程为
，圆的普通方程为
，圆心

到直线的距离为
，所以直线
和曲线
相切，公共点只有个.

15【解析】因为
，且
，所以
，

所以
. 或者由相交弦定理
，

即
，且
，得
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. （本小题满分12分）

解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质．

(1)由
， ……………1分

， ……………2分

及
，得
.又
，从而
， ……………4分

所以
. ……………6分

(2)
…9分

时，
取最大值1. …………11分

所以
的最大值为
. ……………12分

17. （本小题满分12分）

解（1）设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”， ……………1分

则
. ……………4分

（2）设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”， ……………5分

由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人， ……………6分

分别记为
，从中选出两人的所有基本事件如下：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，共15个. ……………9分

其中使得事件成立的为
，
，
，
，共4个 ……………10分

则
. ……………12分

18. （本小题满分14分）

解（１）证明：因为点
是菱形
的对角线的交点，

所以
是
的中点.又点
是棱
的中点，

所以
是
的中位线，
. ……2分

因为
平面
,
平面
，………4分

所以
平面
. ……………6分

（２）三棱锥
的体积等于三棱锥
的体积. ……………7分

由题意，
,

因为
,所以
，
. …………8分

又因为菱形
，所以
. …………9分

因为
,所以
平面
，即
平面
…………10分

所以
为三棱锥
的高. ……………11分

的面积为

，……13分

所求体积等于

. …