惠州市2015届高三第二次调研考试数学试题 (理科） 2014.10

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．

参考公式：①如果事件
互斥，则

②如果事件
相互独立，则

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.

1．设集合
，集合
，则
(　　)

A．
B．
C．
D．

2. 复数
（为虚数单位）在复平面上对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．双曲线
的实轴长是(　　)

A．2 B．2 C．4 D．4

4．设向量
，
，则下列结论中正确的是(　　)

A．
　 B．
C．
D．
与
垂直

5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为
，众数为
，平均值为
，则(　　)

A．


　　　 B．

C．


D．

6. 设平面与平面
相交于直线，直线在平面内，直线
在平面
内，且
，则“
”是“
”的(　　)

A．充分不必要条件　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知
, ,满足约束条件
，若
的最小值为1，则
(　　)

A.
　 B.
C． D．

8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数
(
表示不大于的最大整数）可以表示为(　　)

A．
　　B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．已知
，则不等式
的解集为 ．

10．曲线

在点
处的切线方程为 ．

11．
展开式中的常数项为 ．

12．锐角
中，角
所对的边长分别为
，若
，则角等于 ．

13．在正项等比数列
中，
，
，

则满足
的最大正整数的值为________．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．

14．（极坐标与参数方程）已知圆的极坐标方程为
，圆心为
，点的极坐标为
，则
________.

15．（几何证明选讲）如图所示，⊙
的两条切线
和
相交于点，与⊙
相切于
两点，
是⊙
上的一点，若
，则
________.（用角度表示）

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

设向量
，
，
.

（1）若
，求的值；

（2）设函数
，求
的最大值．

17．（本题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上
件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为
，
，…，
，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过
克的产品数量；

（2）在上述抽取的
件产品中任取件，设为重量超过
克的产品数量，求的分布列；

（3）从该流水线上任取
件产品，求恰有件产品的重量超过
克的概率．

18．（本题满分14分）

如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
，
底面
.

（1）证明：
；

（2）若
，求二面角
的余弦值．

19．（本题满分
分）

设数列
的前项和为
，已知
，
，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明：对一切正整数，有
.

20．(本题满分14分)

如图，已知椭圆
：
，其左右焦点为
及
，过点
的直线交椭圆
于
两点，线段
的中点为
，
的中垂线与轴和轴分别交于
两点，且
、
、
构成等差数列.

（1）求椭圆
的方程；

（2）记△
的面积为
，△
（
为原点）的面积为
．试问：是否存在直线
，使得
？说明理由．

21.（本题满分
分）

已知
，函数
.（
的图像连续不断）

（1）求
的单调区间；

（2）当
时，证明：存在
，使
；

（3）若存在均属于区间
的
，且
，使
，

证明.

惠州市2015届高三第二次调研考试

理科数学答案与评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

C

D

D

A

B

B



1【解析】本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握．由
，解得
，所以
，又
，所以
，故选A.

2【解析】本题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，∵
∴复数z在复平面上对应的点的坐标为
，位于第二象限．

3【解析】本题考查双曲线方程及其简单几何性质。双曲线方程可变形为
，

所以
.

4【解析】
；

；
，故
垂直．

5【解析】由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即
＝5.5,5出现的次数最多，

故
＝5，
≈5.97

于是得


.

6【解析】若
，又
，根据两个平面垂直的性质定理可得
，又因为
，所以
；反过来，当
时，因为
，一定有
，但不能保证
，即不能推出
.

7【解析】本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数
的几何意义为直线l：
在轴上的截距，知当直线l过可行域内的点
时，目标函数
的最小值为1，则
。

8【解析】当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数
(
表示不大于的最大整数）可以表示为
．

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．

9．
10．
11．
12．
13．

14．
15．55°

9【解析】本题考查分段函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论及化归能力及运算能力．

由
，可得
或
，

解得
，所以原不等式的解集为
．

10【解析】本题考查导数的几何意义。考查考生的求导运算及求直线方程的能力。

由
，则
.所以
，即切线L的斜率为1。又切线L过点(1,0)，所以切线L的方程为
. 一般方程为
.

11【解析】本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力．

，令
，得
，

故常数项为
.

12．【解析】本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力．由正弦定理得，
可化为
，又
，所以
，又
为锐角三角形，得
.

13【解析】本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．

设等比数列
的公比为
．由
可得

即
所以
，所以
，数列
的前项和
，所以
，由
可得
，由
，可求得的最大值为12，而当
时，
不成立，所以的最大值为12.

14【解析】由
可得圆的直角坐标方程为
，圆心
．点的直角坐标为
，所以
.

15【解析】如图所示，连接
，则
.

故
，∴
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质．

(1)由
， .......... （1分）

， ............（2