皖南八校2015届第一次联考数学（理科）

参考答案

一.选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

A

C

B

C

D

A

C

A





二.填空题：

11.存在
，使得
成立。 12.
13.
14：
15. ①③⑤

三.解答题：

16.解：（Ⅰ）
,
两式相加，

并注意到点
分别是线段
、
的中点，得
.………6分

（Ⅱ）由已知可得向量
与
的模分别为与，夹角为
，

所以
,由
得

=
……………12分

17.解：（Ⅰ）
可得

所以
，所以
，……………3分

所以

所以
……6分

（Ⅱ）由（1）可得

在△
中，由正弦定理

∴
,
……………9分

∴
. ……………12分

18.解: (Ⅰ)
，由于函数
在
时取得极值，所以
。

即
解得
，此时
在
两边异号，
在
处取得极值。……6分

(Ⅱ) 方法一：由题设知：
对任意
都成立

即
对任意
都成立……………9分

设
, 则对任意
，
为单调递增函数

所以对任意
，
恒成立的充分必要条件是

即
，
， 于是的取值范围是
……………12分

方法二： 由题设知：
，对任意
都成立

即
对任意
都成立

于是
对任意
都成立，即
……………9分

， 于是的取值范围是
……………12分

19.解：（Ⅰ）

．……………3分

因为
为奇函数，所以
，又
，可得

所以
，由题意得
，所以
．

故
．因此
． ……………6分

（Ⅱ）将
的图象向右平移
个单位后，得到
的图象，

所以
． ……………9分

当
（
），

即
（
）时，
单调递增，

因此
的单调递增区间为
（
）． ……………12分

20.解：（Ⅰ）
的定义域是
，求导得

依题意
在
时恒成立，即
在
恒成立. …………3分

这个不等式提供2种解法，供参考

解法一：因为
，所以二次函数开口向下，对称轴
，问题转化为

所以
，所以的取值范围是
……………6分

解法二，分离变量，得
在
恒成立，即

当
时，
取最小值
，∴的取值范围是
……………6分

（Ⅱ）由题意
，即
，

设
则
列表：





























(

极大值

(

极小值

(



∴
，
，又
………10分

方程
在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.

则
， 得
（注意
） ……………13分

21.解：（Ⅰ）
所以

由题意
,得
……3分

(Ⅱ)
，所以

设

当
时，
，
是增函数，
，

所以
，故
在
上为增函数； ……………6分

当
时，
，
是减函数，
，

所以
，故
在
上为增函数；

所以
在区间
和
都是单调递增的。 ……………8分

(Ⅲ)由已知可知要证
，即证
……………10分

即证
，即证
，即证
， ……………12分

又
，由（2）知
成立，所以
。……………14分