银川一中2015届高三年级第三次月考

数 学 试 卷（理）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合
，则
=

A.
B.

C.
D.

2．已知复数
，则化简得
=

A．0 B．
C．1 D．

3.
为等差数列
的前
项和，
，则

A．
B．
C．
D．

4. 已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是

A.  B.   C.   D.  

5．在
中，
，且
，点
满足
等于

A．3 B．2 C．4 D．6

6. 下列说法正确的是

A．命题“

，
”的否定是“

，
”

B．命题 “已知

，若
，则
或
”是真命题

C．“
在
上恒成立”
“
在
上恒成立”

D．命题“若
，则函数
只有一个零点”的逆命题为真命题

7．能够把圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆
的“和谐函数”,下列函数不是圆
的“和谐函数”的是

A．
B．
C．
D．

8. 已知
，则

A.
B.
C.
D.

9．已知数列
满足
，则数列
的前10项和为

A.
B.
C.
D.

10．函数
是

A．最小正周期为
，值域为
的函数

B．最小正周期为
，值域为
的函数

C．最小正周期为
，值域为
的函数

D．最小正周期为
,值域为
的函数

11．如图，矩形
的一边
在x轴上，另外两个顶点

Cn,Dn在函数
的图象上.若点Bn的坐标

，记矩形
的周长为an，

则a2+a3+…+a10=

A．208 B.216 C.212 D.220

12．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数
的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A,B）是函数
的一个“姊妹点对”。点对（A,B）与（B,A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数
，则
的“姊妹点对”有

A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 3个

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为 .

14．在
中，已知内角
，边
，则
的面积
的最大值为 ．

15. 已知
，数列
的前项和为
，数列
的通项公式为
，则
的最小值为 .

16．在技术工程中，经常用到双曲正弦函数
和双曲余弦函数
.其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有
成立，而关于双曲正、余弦函数满足
.请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式 .

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为
，且
，
.

（1）求
与
；

（2）设数列
满足
，求
的前
项和
.

18. (本小题满分12分)

函数

,
.其图象的最高点与相邻对称中心的两点间距离为
,且过点
.

（1）求函数
的周期及其表达式;

（2）在△
中，
、
、
分别是角
、
、
的对边,
,
,角C为锐角且满足
,求
的值.

19. (本小题满分12分)

已知数列
的首项
.

（1）证明：数列
是等比数列；

（2）求数列
的前
项和
．

20．（本小题满分12分）

已知函数
在
处取得极值.

（1）求实数
的值；

（2）关于
的方程
在区间
上有两个不同的实数根,求实数
的取值范围；

21. （本小题满分12分）

已知函数
，

。

（1）当a∈R时，讨论函数
的单调性．

（2）是否存在实数a，对任意的
，且
，都有
.

若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
是直角三角形，
，

以
为直径的圆
交
于点
，点
是

边的中点，连接
交圆
于点
.

（1）求证：
、
、
、
四点共圆；

（2）求证：

23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．

已知曲线
的参数方程是
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线
的极坐标系方程是
，正方形
的顶点都在
上，

且
依逆时针次序排列，点
的极坐标为

（1）求点
的直角坐标；

（2）设
为
上任意一点，求
的取值范围。

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知
(a是常数，a∈R)

（1）当a=1时求不等式
的解集；

（2）如果函数
恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

宁夏银川一中2015届高三第三次月考数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

B

D

A

B

D

C

A

C

B

A



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．8 14．
15．-4

16．

三、解答题：

17．(本小题满分12分)

解：（1）因为
,所以
,得
,

,
6分

（2）因为
，
所以

得
12分

18. (本小题满分12分)

解：(Ⅰ)
. ∵最高点与相邻对称中心的距离为
,则
,即
, ∴
,∵
,∴
,又
过点
,∴
,

即
,∴
.∵
,∴
,∴
. (6分)

(Ⅱ)
,由正弦定理可得
, ∵
,∴
,

又
,
,∴
,由余弦定理得

,∴
. (12分)

19. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）∵
，

，

，又
，

，

数列
是以为
首项，
为公比的等比数列．……… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，即
，

．

设
…
， ①则
…
，②

由①
②得
…
，

．又
…
．

数列
的前
项和
………12分

20．（本小题满分12分）

解:(1)

时,
取得极值,

故
解得
经检验
符合题意.

（2）由
知
由
,得

令
则
在区间
上恰有两个不同的实数根等价于
在区间
上恰有两个不同的实数根.

当
时,
,于是
在
上单调递增;

当
时,
,于是
在
上单调递减.

依题意有
, 解得,

21.解: (1)

,

①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在在
上是增函数。

②当-2＜a≤0时，f（x）在（0，-a）上是增函数；在（-a，2）是是减函数；在
上是增函数。

③当a=-2时，f（x）在（0，+
上是增函数。

④当a＜-2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，-a）上是减函数；在
上是增函数。

（2）假设存在实数a，对任意的
，且
，都有
恒成立，当
时，等价于
即
恒成立.令g（x）=f（x）+ax=
，只要g（x）在（0，+
上恒为增函数,所以
恒成立即可.又
，只要
在（0，+
恒成立即可.设
，则由
及
得
，

当
时，等价于
即
恒成立. g（x）在（0，+
上恒为增函数,所以
恒成立即可.

综上所述，不存在实数a，对任意的
，且
时，都有
.

22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

证明：（1）连接
、
，则

又
是BC的中点，所以

又
，

所以
所以

所以
、
、
、
四点共圆 。。。。。。5分

（2）延长
交圆
于点
. 因为

.。。。。。。。7分

所以
所以
。。10分

23. (本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲