仙桃八中2014年高三年级第二次诊断考试试题

数学 （文科）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知集合
,则
等于（ ）

A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}

2．命题“若
，则
”的逆否命题是（　 ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

3．已知
，则下列关系中正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

4．函数
是（ ）

A.周期为
的偶函数 B.周期为
的奇函数

C.周期为
的偶函数 D.周期为
的奇函数

5．要得到函数
的图象，需将函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈R）的图象（　　）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移π个单位 D．向右平移π个单位

6．曲线

A．
B．
C．
D．

7．函数
在区间
上的最大值和最小值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．直线
与函数
的图像有三个相异的交点，则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知
，则
的值为( )

A．18 B．
C．16 D．

10．设函数
，
．若当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．）

11．“
”是“函数
为奇函数”的 条件．

（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）

12．函数
,
的值域是 ．

13．已知函数
(其中
,
,
)的部分图象如图所示,则函数
的解析式是 .

14．已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
＝ .

15．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝
x3－
x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．

16．已知
，
，则
.

17．已知函数f(x)=x2+
,g(x)=
-m.若?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是__________.

三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

18．（本大题12分）已知函数
，
.（Ⅰ）求
的最小正周期； （Ⅱ）求
在闭区间
上的最大值和最小值.

19．（本大题12分）保持正弦曲线
上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
，再将图像沿
轴向右平移
个单位，得到函数
的图像.（1）写出
的表达式，并计算
.（2）求
的单调减区间.

20．（本大题13分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度
(单位：千米/小时)是车流密度
（单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当
时，车流速度
是车流密度
的一次函数.

（1）当
时，求函数
的表达式.

（2）当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）
可以达到最大，并求最大值（精确到1辆/每小时）.

21．（本大题14分）设
是
上的奇函数，且对任意的实数
当
时，都有

（1）若
，试比较
的大小；

（2）若存在实数
，使得不等式
成立，试求实数
的取值范围.

22．（本大题14分）已知函数

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x) 在点(1，f(1)) 处的切线方程；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若对任意的x∈[1，＋∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．

参考答案

1．B.

2．C

3．A.

4．B

5．A

6．A

7．A

8．A

9．D

10．A

11．充分不必要.

12．

13．
.

14．
.

15．40

16．

17．

18．解：（Ⅰ）由
，得
=
；

（Ⅱ）
在闭区间
上的最大值为
，最小值为
.

19．解：（1）
，
；

（2）
在
单减；

20．解：（1）由题意：当
时，
；当
时，设

，由已知得
，解得

故函数
的表达式为
=

（2）依题意并由（1）可得

当
时，
为增函数，故当
时，其最大值为
；

当
时，
，

当且仅当
，即
时，等号成立．

所以，当
时，
在区间
上取得最大值
．

综上，当
时，
在区间
上取得最大值
，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．

21．解：（1）由已知得
，又

，

，即

6分

（2）
为奇函数，

等价于

又由（1）知
单调递增，
不等式等价于
即

存在实数
使得不等式
成立，

的取值范围为
.

22．解：(1)a＝2时，f(x)＝
x2－2lnx－
，f(1)＝0…(1分)

f '(x)＝x－
，f '(1)＝－1……(2分)

曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程x＋y－1＝0…(3分)

(2)f '(x)＝x－
(x＞0)…(4分)

①当a＜0时，f '(x)＝
＞0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0，＋∞)…(6分)

②当a＞0时，令f'(x)＝0，解得x＝
或x＝－

x

(0，
)



(
，＋∞)



f′(x)

－



＋



f(x)

减



增



所以函数f(x)的递增区间为(
，＋∞)，递减区间为(0，
)…(8分)

(3)对任意的x∈[1，＋∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1，＋∞)，f(x)min≥0

①当a＜0时，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

所以只需f(1)≥0

而f(1)＝
－aln1－
＝0

所以a＜0满足题意； …(9分)

②当0＜a≤1时，0＜
≤1，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

所以只需f(1)≥0

而f(1)＝
－aln1－
＝0

所以0＜a≤1满足题意；…(10分)

③当a＞1时，
＞1，f(x)在[1，
]上是减函数，[
，＋∞)上是增函数，

所以只需f(
)≥0即可

而f(
)＜f(1)＝0

从而a＞1不满足题意； …(12分)

综合①②③实数a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1]．

考点：函数的导数，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题