第Ⅰ卷(共60分)

一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合
，且
，则集合可能是

A.
　　　　 B.
　　　　C.
　　　　D.

2.已知
，则下列结论错误的是

A.
B.
C.
D.

3.若不等式
对一切实数都成立，则
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

4.规定
，若
，则函数
的值域

A.
B．
C．
D．

5.设命题
函数
在定义域上为减函数；命题

,当
时,
，以下说法正确的是

A.为真 B.为真 C.真假　 D.，均假

6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的

函数是

A．
B．

C．
D．

7.函数
为偶函数，且
上单调递减，则

的一个单调递增区间为

A.
B.
C.
D.

8.下列命题正确的个数是

①“在三角形
中，若
,则
”的否命题是真命题；

②命题
或
，命题
则是的必要不充分条件；

③“
”的否定是“
”.

A.0 B.1 C.2 D.3

9．已知函数
若
互不相等，且
，则
的取值范围是

A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]

10.下列四个图中,函数
的图象可能是

11.设函数
,
.若实数
满足
,
，则

A．
B．

C．
D．

12.已知定义的R上的偶函数
在
上是增函数，不等式

对任意
恒成立，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.设
,函数
,则
的值等于 ．

14.实数
满足
若目标函数
的最大值为4，则实数的值为

.

15.已知
，则满足不等式
的实数
的最小值

是 .

16.定义在上的函数
满足
，当
,
，则函数
的在
上的零点个数是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知幂函数
在
上单调递增，函数
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当
时，记
，
的值域分别为集合
，若
，求实数
的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知向量
, 设函数
.

(Ⅰ) 求
的单调递增区间；

(Ⅱ) 求
在
上的最大值和最小值.

20.（本小题满分12分）

已知函数
(其中
).

（Ⅰ）若
为
的极值点,求的值；

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式
.

21.（本小题满分12分）

已知
，函数
.设
，记曲线
在点

处的切线为
，
与轴的交点是
，
为坐标原点.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若对于任意的
，都有
成立，求的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数
，
且
．

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）当
时，若
，证明:
.

东北育才学校高中部2015届高三第一次模拟数学试题（理科）答案

18. (Ⅰ)
=
.

……………4分

当
时，解得
，

的单调递增区间为
. ……………8分

(Ⅱ)
.

.

所以,f (x) 在
上的最大值和最小值分别为
. ……………12分

19.解:(Ⅰ)命题为真,即
的定义域是,等价于
恒成立,

等价于
或

解得
或
.∴实数的取值范围为
,
,
……………4分

命题为真,即
的值域是, 等价于
的值域
,

等价于
或

解得
.∴实数的取值范围为
,
……………8分

(Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,
:
;:
.

而
,∴
是的必要而不充分的条件 ……………12分

20. (Ⅰ)因为

因为
为
的极值点,所以由
,解得

检验,当
时,
,当
时,
,当
时,
.

所以
为
的极值点,故
. ……………4分

(Ⅱ) 当
时,不等式

,

整理得
,

即
或

令
,
,
,

当
时,
；当
时,
,

所以
在
单调递减,在
单调递增,所以
,即
,

所以
在上单调递增,而
；

故
；
,

所以原不等式的解集为
. ……………12分(

21. Ⅰ)解：曲线
在点
处的切线
的方程为

令
，得
……………4分

(Ⅱ)

在
上恒成立

设

，

令
，解得
，

当
时，
取极大值

10当
,即
时，
，满足题设要求；

20当
，即
，
，

若
，解得
.

综上，实数的取值范围为
. …………12分

22.解：（1）由题，

. …………………………………………………2分

令
，因为
故
.

当
时，因
且
所以上不等式的解为
,

从而此时函数
在
上单调递增. ……………………4分

当
时，因
所以上不等式的解为
，

从而此时函数
在
上单调递增.

同理此时
在
上单调递减. ……………………………6分

（2）（方法一）要证原不等式成立，只须证明
，

只须证明
.

因为
所以原不等式只须证明，

函数
在
内单调递减. ……………8分

由（1）知

，

因为
，

我们考察函数
,
.

因


，

所以
. ……………………………10分

从而知
在
上恒成立，

所以函数
在
内单调递减.

从而原命题成立 ……………………………………………12分

（方法二）要证原不等式成立，只须证明
，

只须证明
.

又
，

设
，

则欲证原不等式只须证明函数
在
内单调递减

………………8分

由（1）可知

.

因为
，所以
在
上为增函数，

所以
.

从而知
在
上恒成立，

所以函数
在
内单调递减.

从而原命题成立. …………………12分