一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若集合
，则
＝（ ）

A.
B.
C.
D.

2．复数
的共轭复数是（ ）.

A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i

3．tan300°+
的值是（　　 ）

A．1＋
　 　B．1－
　　 C．－1－
D．－1＋

4．函数
的零点为 ( )

A.
B.
C.
D.

5．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）

A、
B、
C、
D、

6．设m、n是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若
，
，则
②若
，
，
，则

③若
，
，则
④若
，
，则

其中正确命题的序号是 ( )

A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④

7．当

A. 最大值为1，最小值为-1 B. 最大值为1，最小值为

C. 最大值为2，最小值为
D. 最大值为2，最小值为

8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．

根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程

零件数x(个)

10

20

30

40

50



加工时间y（min）

62

m

n

81

89



则m+n的值为：

A．137 B．129 C．121 D．118

9．设函数
，则满足
的x的取值范围是

A．
，2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）

10．在区间[0，6]上随机取一个数，
的值介于1到2之间的概率为( )

A.
B.
C.
D.

11．如图所示是
的导数
的图像，下列四个结论：

①
在区间
上是增函数；

②
是
的极小值点；

③
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；

④
是
的极小值点．其中正确的结论是

A．①②③ B．②③ C．③④ D．①③④

12．设函数
，
．若当
时，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是

14．函数
(A＞0,0＜＜)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为___________________。

15．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于.

16．已知
且
,现给出如下结论：

①
;②
;③
;④;
;

⑤
的极值为1和3.其中正确命题的序号为.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．如图，在平面直角坐标系
中，以轴为始边作两个锐角
，它们的终边分别与单位圆交于
两点．已知
的横坐标分别为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值．

18．如图，在直三棱柱
中，
，
，且是
中点.

(I)求证：
平面
；

(Ⅱ)求证：
平面
.

19．某班高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；

(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

20．已知函数

(1)当a=2时，求曲线
在点
处的切线方程;

(2)求函数
的极值.

21．设
，其中为正实数.

（Ⅰ）当
时，求
的极值点；

（Ⅱ）若
为R上的单调函数，求的取值范围.

请考生在第21、22、23题中任选一题做答，如果都做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

22．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧
上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.

(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；

(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋
，求△ABC外接圆的面积．

23．在直角坐标系
中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
．圆O的参数方程为
，（为参数，
）

(1)求圆心的极坐标；

(2)当为何值时，圆O上的点到直线的最大距离为3．

24．已知函数
.

（1）解不等式
；

（2）若
，且
，求证：
.



1．D

2．B.w

【解析】

试题分析：
，
，故选B.

3．B

【解析】

试题分析：因为tan300°+
=tan(360°-60°)+
,然后运用诱导公式一得到为，tan(360°-60°)=-tan600=-
,

，故tan300°+
=1-
，选B。

4．C

5．B

【解析】

试题分析：由上程序框图，当运行程序后，
，满足条件，执行循环；则
，满足条件，执行循环；则
，满足条件，执行循环；则
，满足条件，执行循环；则
，满足条件，执行循环；则
，不满足条件，退出循环，则输出
，故选B．

6．A

【解析】

试题分析：因为平行于同一个平面的两条直线可能相交,也可能异面所以命题②不正确;垂直于同一个平面的两个平面有可能是相交的,所以命题③也不正确.故选A

考点：1、线面平行的性质与判定；2、线面垂直的判定与性质.

7．D

8．B

【解析】

试题分析：由题意得
,又∵
,∴
，

∴62+m+n+81+89=5×72.2=361，∴m+n=129.

9．D

【解析】

试题分析：

或

或

10．A

【解析】

试题分析：由题知1＜
＜2，解得，2＜＜4，故
的值介于1到2之间的概率为
=
，故选A.

11．B

【解析】

试题分析：由导函数图象可知：①
在区间
上是先减再增；② 在
左侧是减函数，右侧是增函数，所以
是
的极小值点；③
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；④
是
的极大值点；故②③正确.

考点：导函数的应用.

12．A

【解析】

试题分析：
，
单调递增，又
为奇函数，原不等式可化为
，即
，可变为
，又
，得
，
，所以
时恒成立．

考点：利用导数判断函数的单调性，函数的奇偶性，不等式恒成立．

13．38

【解析】

试题分析：由分组可得间隔k=4,则根据系统抽样的原理可得第9组抽出的号码应为
,故填38

考点：系统抽样

14．

【解析】

试题分析：由振幅为2可知
，由半周期
得

带入点
得

15．24

【解析】

试题分析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图
.

考点：三视图.

16．②③

【解析】

试题分析：依题意可得函数
.令
.所以函数
在
和
上递增，在
递减，又
，所以
.又
.由
可得，
.所以
（
）.又因为
.所以
.所以②③正确.若
的极值为1和3，则可得
.即
与
矛盾，所以不成立.所以正确的选项是②③.

考点：1.函数的极值.2.函数与方程的根的问题.3.反证的数学思想.4.函数的单调性的应用.

18．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)连接
交
于点，连接
，则可证
为
的中位线，则有
，根据直线与平面平行的判定定理即知，
；(Ⅱ)先由
和
，根据直线与平面垂直的判定定理可知，
，由直线与平面垂直的性质定理可知
；由角的与余切值相等得到
，根据等量代换则有
，即
，结合直线与平面垂直的判定定理可知，
.

试题解析：(Ⅰ)连接
交
于点，连接
，如图：

∵
为正方形，∴为
中点，

又为
中点，∴
为
的中位线，

∴
，

又
，
,

∴
. 4分

(Ⅱ)∵
，又为
中点，∴
，

又∵在直棱柱
中，
，

又
，∴
，

又∵
，∴
，

又
，所以
. 8分

在矩形
中，
，

∴
，

∴
，

即
，

又
，

∴
. 12分

19．（1）
；（2）
；（3）
.

【解析】

试题分析：（1）由频率分布直方图可知分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，再由茎叶图知分数在[50,60)之间的频数为2，则全班人数为
；（2）[80,90)之间的人数为
人，根据对应的频率为
，所以矩形的高为
；（3）根据列举法能够知道在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件15个，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是
.

试题解析：（1）分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，

所以全班人数为
.

（2）由（1）知，分数在[80,90)之间的人数为
人. 则对应的频率为
，所以[80,90)间的矩形的高为
.

（3）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个.其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是
.

考点：1.对频率分布直方图和茎叶图的认识；2.古典概型的应用.

20．(1)
; (2)
时，函数
无极值；
时，函数
在
处取得极小值
，无极大值．

【解析】

试题分析：(1) 由a=2得
的解析式，进而可求出导数
；由导数的几何意义可知：曲线
在点
处的切线的斜率
，从而用直线的点斜式可写出切线方程；(2)由
发现：当
时
方程
无解，当
时,由
,解得
，因此需按
和
分类讨论.

试题解析：函数
的定义域为
，
．

当a=2时,
,
, 曲线
在点
处的切线方程为：
，即
.

由
可知:

①当
时,
,函数
为
上增函数,函数
无极值;

②当
时,由
,解得
;
时
,
时,

在
处取得极小值，且极小值为
，无极大值．

综上：当
时，函数
无极值；

当
时，函数
在
处取得极小值
，无极大值．

21．（Ⅰ）
是极小值点,
是极大值点.（II）a的取值范围是0＜a≤1。

【解析】本试题考查了导数在研究函数中的运用。

（1）根据已知函数求解定义域和导数，然后分析单调性，从而得到极值。

（2）因为
为R上的单调函数，则说明了
在R上不变号，由
知，

在R上恒成立，

可知判别式小于等于零即可。

解：对
求导得
①

30．解：（1）圆心坐标为
------2分

设圆心的极坐标为

则
----4分

所以圆心的极坐标为
------ 6分

（2）直线的极坐标方程为

直线的普通方程为
----8分

圆上的点到直线的距离
……10分

即
-----11分

圆上的点到直线的最大距离为
-----13分

---- 14分

【解析】略

31．（1）见解析（2）见解析

【解析】如图，设F为AD延长线上一点．

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，

∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，

故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.

(2)设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC.

连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.

设圆半径为r，则r＋
r＝2＋
，得r＝2，外接圆面积为4π.

32．（1）不