数学答案（理科）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

A

B

C

C

B

A

C

D

B

D



二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
14．
15．
16．

三．解答题（本题共6大题，共70分）

17（本小题满分10分）

解：（I）由正弦定理
，得
，解得
，. ………………………2分

由于为三角形内角，
，则
， . . ………………………4分

所以
， . . . ………………………5分

（II）依题意，
，即
，整理得
. …………7分

又
，所以
. . . . ………………………10分

另解：

由于
,所以
，解得
, . . . ………………………7分

由于
，所以
， . . . . ………………………8分

由
，所以
.

由勾股定理
，解得
. . . . . ………………………10分

18．（本小题满分12分）

解：（I）设等比数列
的公比为
，由题意知
，且
，

又因为
、
、
成等差数列，

所以
， . . . . ………………………2分

即
，

化简得
，从而
，解得
　，

又
，故
， . . . . ………………………4分

. . . . . ………………………6分

（II）由（I）知，
，

则
， ①

， ② . . . . ………………………8分

①-②得：

，

所以
. . . .. ………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：

(Ⅰ)证明：连接
，设
与
相交于点
，连接
，

因为四边形
为平行四边形，所以点
为
的中点，

又因为
为
的中点，所以
为
的中位线，

所以
∥
， . . . . ………………………3分

又因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
. . . . . ………………………6分

(Ⅱ)因为
平面
，
∥
，所以
平面
，

又因为
，所以
两两垂直，

故可以建立空间直角坐标系
(如图所示)， . . . . ………………………8分

则
，
，
，
，
，

所以
，
，
，

因为
平面
,故平面
的一个法向量为
，

设平面
的法向量为
，则
即
，

令
，则
，可取
， . . . . ………………………10分

从而
，

故所求二面角
的余弦值为
. ... . . ………………………12分

20．（本小题满分12分）

解：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　 　

∴此次测试总人数为
(人).

∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) .. . . . ………………………4分

(II)
=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
,∴
～
.

，
，

.　　　　　　　　

所求分布列为

X

0

1

2



P









………………………6分

………………………8分

(III)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的区域为

，

事件 “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为
，如图所示.

∴由几何概型
.

则甲比乙投掷远的概率是
. .………………………12分

21．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ)函数

的定义域为
，

令
得
，

①当
时,
,

与
的变化情况如下表



0













0



0







减



增



减



所以
的单调递减区间是
,
； .………………………2分

②当
时,
，
，

故
的单调递减区间是
； .………………………4分

③当
时,
，

与
的变化情况如下表







0









0



0







减



增



减



所以
的单调递增减区间是
,
.

综上,当
时,
的单调递增减区间是
,
；

当
时,
的单调递增减区间是
,
；

当
时，
的单调递增减区间是
. .………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

① 当
时,
在
的最大值是

但
,所以
不合题意； .………………………9分

② 当
时,
在
上单调递减，

，可得
在
上的最大值为
,符合题意.

在
上的最大值为0时,的取值范围是
. .………………………12分

22.（本小题满分12分）

解：（I）由题意知

而以原点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆的方程为
，

故由题意可知

故椭圆C的方程为
.………………………3分

（II）由题意知直线
的斜率存在，设直线
的方程为

由
…………① …………………4分

设点
，则
，

直线
的方程为
，

令
得，

将
代入整理得，

得
………………② .………………………5分

由①得
，

代入②整得，得

所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0） .………………………7分

（III）①当过点
的直线
的斜率不存在时，其方程为
，

解得
，此时
； .………………………8分

② 当过点
的直线
的斜率存在时，

设直线
的方程为
,且
在椭圆
上，

由
得
，

计算得，
，

所以

则

.………………………10分

因为
，所以
，

.

所以
的取值范围是
. .………………………12分