西安一中2015届高三上学期二模考试

数学理科试题

一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.已知全集U=R，集合A=｛x｜
＞1｝，B=｛x｜x2+3x-4<0｝，则A∩B等于（ 　）

A.（0，1）　　B.（1，＋
）　C.（一4，1）　　D.（一
，一4）

2．已知复数z满足
( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．
的展开式中常数项是（ ）

A．5 B．
C．10 D．

5．下列说法中，正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆命题是真命题

B．命题“存在
，
”的否定是：“任意
，
”

C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

D．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件

6.点
在直线
上移动，则
的最小值是（ ）

A.8 B. 6 C.
D.

7、执行如图的算法框图，如果输入p=5，则输出的S等于（ ）

A.
B.
C.
D.

8.如图，矩形
内的阴影部分是由曲线
及直线
与
轴围成，向矩形
内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为
，则
的值是( )

A .
　　 B.
　　 C .
　 D.

9．在
这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）

A．36个 B．24个 C．18个 D．6个

10．已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11、一位同学种了甲、乙两种树苗各一株，分别观察了9次、10次得到树苗的高度数据的茎叶图如图（单位：厘米），则甲乙两种树苗高度的数据中位数和是

12．观察各式：

，则依次类推可得
；

13．设函数f（x）=
则满足
的x的取值范围是________

14． 若实数
、
满足
且
的最小值为
，则实数
的值为__

15.选做题（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A（极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线
表示圆，则点
到圆心的距离为 ；

B（几何证明选讲）已知
是圆
的切线，切点为
，
．
是圆
的直径，
与圆
交于点
，
，则圆
的半径
．

C（不等式选讲）若关于
的不等式
存在实数解，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（12分）已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2） 当
时,求函数
的最大值,最小值．

17. （12分）已知在等比数列
中，
，且
是
和
的等差中项．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，求
的前
项和
．

18、(12分)如图，直三棱柱
，
，
点M，N分别为
和
的中点．

(1)证明：
∥平面
；

(2)若二面角
为直二面角，求
的值．

19. （12分）某市为响应国家节能减排建设的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：

（一）80部手机，一年就会增加一吨二氧化氮的排放。

（二）人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气。

活动组织者为了了解是市民对这两则广告的宣传效果，随机对10-60岁的人群抽查了n人，并就两个问题对选取的市民进行提问，其抽样人数频率分布直方图如图所示，宣传效果调查结果如表所示：

（1）分别写出n,a,b,c,d的值。

（2）若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得30元，广告二的内容得60元。组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁），指定大人回答广告一的内容，孩子回答广告二的内容，求该家庭获得奖金数
的分布列及期望。

20．(13分)已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，其左、右焦点分别为
、
，短轴长为
，点
在椭圆
上，且满足
的周长为6．

（1）求椭圆
的方程；；

（2）设过点
的直线与椭圆相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M使
恒为定值？若存在求出该定值及点M的坐标，若不存在请说明理由．

21．（14分）已知函数
，其中
。

（1）若曲线
在点
处的切线方程为
，求函数
的解析式；

（2）讨论函数
的单调性；

（3）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围.

.

西安市第一中学

2014-2015学年度第一学期高三年级第二次模拟考试

数学（理科）试题答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

C

D

B

C

C

B

B

C



填空题

11、52 12.123 13.
14、

15、 A．
B．
C．

三、解答题

16．解：（1）
.

的最小正周期为
.

（2）.

.
当
时,函数
的最大值为1,最小值
.

17．（Ⅰ）设公比为q，则
，
，∵
是
和
的等差中项，∴
，∴

（Ⅱ）

则

18.解：（1）分别取
的中点
，再连结
，则有

，
，

所以

则四边形
为平行四边形，所以
,则
∥平面
4分

（2）分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系（如图）

设
，则
，所以平面
的一个法向量
，平面
的一个法向量
，

因为二面角
为直二面角，所以
，则有
12分

0

30

60

90



P













期望
--------------------------------------12分

20.解：（1）

所以椭圆的方程为

4分

（2）假设存在这样的定点
，设
，
直线方程为

则

=

联立
消去
得

令
即
，

当
轴时，令
,仍有

所以存在这样的定点
，使得
13分

21． 解：（1）
，由导数的几何意义得
，于是
，

由切点
在直线
上可得
，

解得
，所以函数
的解析式为
.-------4分

（2）
，

当
时，显然
，这时
在
，
内是增函数；

当
时，令
，解得
；

当
变化时，
，
的变化情况如下表：

所以
在
，
内是增函数，在
，
内是减函数。

--------9分

（3）由（2）知，
在
上的最大值为
与
中的较大者，

对于任意的
，不等式
在
上恒成立，

当且仅当
即

对任意的
成立，从而得满足条件的
的取值范围是
----14分