第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合
则
( )

A.
B.
C.
D.

2.已知命题
命题
,则下列命题中为真命题的是:（??? ）

A.
B.
C.
D.

3.“
”是“
”的(　　)条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

4.下列函数中，在区间
为增函数的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.函数
的零点个数为（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

6.已知
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

7.函数
在R上为减函数，则(　　)

A．
B．
C．
D．

8.函数
的图象大致为（ ）



9.直线
与曲线
相切，则b的值为( )

A．－2 B．－1 C．－ D．1

10.设
与
是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数
在
上有两个不同的零点，则称
和
在
上是“关联函数”，区间
称为“关联区间”．若
与
在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )

A.
B．[－1,0] C．(－∞，－2] D.

11.设函数
在R上可导，其导函数为
，且函数
的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

12．已知函数
，
，若至少存在一个
，使
成立，则实数a的范围为( )

A．[
，+∞) B．(0，+∞) C．[0，+∞) D．(
，+∞)

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

13.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴青奥会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）．

14.
的展开式中的常数项为______________(用数字作答)

15.已知随机变量
，且P
，P
，则P(
)= ．

设
是定义在R上的偶函数，且对于
恒有
，已知当
时，
则

（1）
的周期是2； （2）
在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；

（3）
的最大值是1，最小值是0； （4）当
时，

其中正确的命题的序号是 .

三、解答题本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

设命题p:实数x满足
,其中
,命题
实数满足
.(1)若
且
为真,求实数的取值范围;

(2)若
是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

18.（本小题满分12分）

某市公租房的房源位于
三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任意4位申请人中:

(1)恰有2人申请片区房源的概率；

(2)申请的房源所在片区的个数
的分布列和期望.

19．（本小题满分12分）

设函数
，曲线
在点P(1，0)处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；(2)证明：
.

20．（本小题满分12分）

为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：

新能源汽车补贴标准



车辆类型

续驶里程（公里）













纯电动乘用车


万元/辆


万元/辆


万元/辆



某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了
辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：

分组

频数

频率



























合计









（1）求，，，
的值；

（2）若从这
辆纯电动乘用车中任选辆，求选到的辆车续驶里程都不低于
公里的概率；

（3）若以频率作为概率，设
为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求
的分布列和数学期望
．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)设
是函数
的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；

(2)若f(1)＝0，函数
在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分，作答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）

选修4－1：几何证明选讲

如图，
的角平分线
的延长线交它的外接圆于点

（Ⅰ）证明：
∽△
;

（Ⅱ）若
的面积
，求
的大小.

23.（本小题满分10分）

选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，
），若直线
过点P，且倾斜角为
，圆C以M为圆心，4为半径。

（I）求直线
的参数方程和圆C的极坐标方程。

（II）试判定直线
与圆C的位置关系。

24.（本小题满分10分）

选修4—5，不等式选讲

已知函数

（I） 解关于的不等式

（II）若函数
的图象恒在函数
的上方，求实数的取值范围。

2014年9月河西三校普通高中高三第一次联考理科数学试题

参考答案及评分标准

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)

三、解答题：（解答题本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：（1)当
时，
，
，………………………………3分

又
为真，所以真且真，

由
，得

所以实数的取值范围为
………………………………6分

(2) 因为
是的充分不必要条件，

所以是的充分不必要条件，………………………………8分

又
，
，

所以
，解得

所以实数的取值范围为
………………………………12分

(1)解：所有可能的申请方式有
种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有
种，………………………………3分

从而恰有2人申请A片区房源的概率为
………………………………6分

(2)的所有取值为1、2、3

………………………………9分

所以
的分布列为

1

2

3















………………………………12分

（3）X的可能取值为3.5、5、6

………………………………10分

………………………………12分

21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.

所以g′(x)＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．

当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；………………3分

当

g(1)＝e－2a－b.………………………………6分

(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，

则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.

同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.

故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．

由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；

当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．

所以

此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．

因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有

g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.

由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，

则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，

解得e－2

当e－2

若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，

从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.

又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.

故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.

由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．

所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)

故f(x)在(x1，x2)内有零点．

综上可知，a的取值范围是(e－2，1)．

故g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.………………………………12分

23.解：（1）直线
的参数方程
（t为参数）

M点的直角坐标为（0， 4） 圆C半径

图C方程
得
代入

得圆C极坐标方程
………………………………5分

（2）直线
的普通方程为

圆心M到