“四地六校”联考

2014-2015学年上学期第一次月考

高三数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：张河水 审题人：汤文辉

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．下列四个函数中,与
表示同一函数的是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（ ）

A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数

3．已知集合
，
，若
，则
的取值范围是（ )

A．
　 B．
　 C．
　　 D．

4．设
,则（ ）

A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c

5．定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则f (2015)=（ ）

A．
B．
C．
D．

6．函数y＝ln的图像为( )

7．方程
的实根所在区间为( )

A．
B.
C.
D.

8． “
” 是“函数
在区间
上为增函数”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．给出下列命题：

①在区间
上，函数
,
,
,
中有三个是增函数；

②若
，则
；

③若函数
是奇函数，则
的图象关于点
对称；

④若函数
，则方程
有
个实数根。

其中假命题的个数为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10. 已知定义域为R的函数
满足
，当
时，
单调递增，如果
且
，则
的值 （ ）

A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．可正可负也可能为0

二、填空题：(本大题5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置).

11．函数

的图象必经过定点___
_________.

12．
是幂函数，则
；

13．已知函数
若
，则
_________．

14．已知
.[来源:学科若函数f(x)在区间（-∞，1－
）上是增函数，则实数m的取值范围为　　　 .

15．对于函数
与
和区间D，如果存在唯一
，使
，则称函数
与
在区间D上的“友好函数”．现给出两个函数：

①
，
； ?②
，
；

③
，
； ④
，
，

则函数
与
在区间
上为“友好函数”的是 。（填正确的序号）

三、解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．（本小题满分13分）已知命题p：f(x)=在x∈(-∞,0］上有意义，命题
：存在
，使得
，若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围。

17．（本小题满分13分）已知函数
,
.

(1)若
的定义域为
,求实数
的取值范围;

(2)若
的值域为
,求实数
的取值范围.

18．（本小题共13分）设函数
是定义域为
的奇函数.

(1)求
值;

(2)若

,且
在
上的最小值为
,求
的值.

19．（本小题共13分）设
是定义在
上且周期为2的函数，在区间
上，
其中常数
, 且

(1) 求
的值；

（2）设函数

①求证：
是偶函数；

②求函数
的值域.

20．（本小题满分1４分）已知函数
其中常数
.

（1）当
时，求函数
的单调递增区间；

（2）当
时，若函数
有三个不同的零点，求m的取值范围；

（3）设定义在D上的函数
在点
处的切线方程为
当
时，若
在D内恒成立，则称P为函数
的“类对称点”，请你探究当
时，函数
是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分1４分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵
，记绕原点逆时针旋转
的变换所对应的矩阵为

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ）若曲线
：
在矩阵
对应变换作用下得到曲线
，求曲线
的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为

为参数，
）．

（Ⅰ）化曲线
的极坐标方程为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
经过点
，求直线
被曲线
截得的线段
的长．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

设不等式
的解集与关于
的不等式
的解集相同．

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值，以及取得最大值时
的值.

“四地六校”联考

2014-2015学年上学期第一次月考

高三理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

D

D

C

D

B

A

C

A

A

B



二、填空题

11. (1,2); 12. 2 ; 13.
或
; 14.
; 15、②④

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤)

16．解：对于命题
，由
对
恒成立知，

对
恒成立 ， ∴
……………（3分）

对于命题q，由△=（a-1）2-4＞0,得a＞3或a＜-1??…………（6分）

∵“p或q”为真,∴p,q中至少有一个为真 ……………（ 8分）

记
,
,则a取值范围为

∵

∴a的取值范围为
……………（13分）

（注：本题可以分三种情况讨论，也可以求p,q都为假）

17．解:(1)由
的定义域为
,则
恒成立, ……………（1分）

若
时,
,
,不合题意; ……………（3分）

所以
;

由
得:
. ……………（6分）

(2)由
的值域为
,所以
, …………（7分）

（也可以说
取遍一切正数）

①若
时,
可以取遍一切正数,符合题意, ……………（9分）

②若
时,需
,即
; ……………（12分）

综上,实数
的取值范围为
.……………（13分）

18．解:(1)∵f(x)是定
义域为R的
奇函数,∴f(0)=0,

∴1-(k-1)=0,∴
k=2, [来源:学。科。网]

经检验知:k=2满足题意 ……………（3分）

(2)∵f(1)=,
,即

……………（5分）

∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.

令t=f(x)=2x-2-x,

由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=,

令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥) ……………（8分）

若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 ……………（10分）

若m<,当t=时,h(t)min=--3m=-2,解得m=>,舍去 ……………（12分）

综上可知m=2. ……………（13分）

19．(1)解：
， …………………………………………………1分

由函数
的周期为
，得
……3分

，

……………………………………………………………4分

(2) ①证明：
对
，有

且
，

是偶函数. …………………………………………………6分

②解：由①知
是偶函数，所以
的值域与
在
上的值域相等

…………………………………………7分

…………………………………………………8分

当
时,
,

,………………………10分

,
在
内是增函数, …………………………11分

得
,即
…………………12分

综上知,函数
的值域为
…………13分

20．解：（1）由
可知，函数的定义域为
， 且
.…………………1分

因为
，所以
.

当
或
时，
；当
时，
，

所以
的单调递增区间为
..………………………………4分

（2）当
时，
.

所以，当
变化时，
，
的变化情况如下：

（0,1）

1

（1,2）

2

（2，





+

0

—

0

+





单调递增


取极大值

单调递减


取极小值

单调递增



 所以
，

. …………………7分

结合函数
的图象， 所以若函数
有三个不同的零点，则
.………………………9分

（3）由题意,当
时，
，

则在点P处切线的斜率

.

所以切线方程为

..……………10分

， 则
，
.

当
时，
在
上单调递减，所以当
时，
从而有
时，
；

当
时，
在
上单调递减，所以当
时，
从而有
时，
；

所以在
上不存在“类对称点”. …………………………12分

当
时，
，所以
在
上是增函数，故
………13分

所以
是一个类对称点的横坐标. ………………………………14分

21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

解：（Ⅰ）由已知得，矩阵
．… 3分

（Ⅱ）矩阵
，它所对应的变换为
解得

把它代人方程
整理，得
，

即经过矩阵
变换后的曲线
方程为
…………………7分

（注：先计算
，再求曲线