益阳市箴言中学2015届高三第二次模拟考试数学（理科）

考试时间：150分钟 总分：150分

一、选择题（每题5分）

1.设集合
，
，则
＝（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知集合
，
,
，且
，则整数对
的个数为( )

A.20 B. 25 C. 30 D. 42

3.设函数
，记
则 （ ）

A.
B.

C.
D.

4.设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）

A．



B．



C．



D．





5.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）

　 A． 2
B． 4
C． 2 D． 4

6.设函数
的定义域为，如果对于任意的
，存在唯一的
，使得
成立（其中为常数），则称函数
在上的均值为， 现在给出下列4个函数： ①
②
③
④
，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的 （ ）

A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①③

7.设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

　 A．（0，
） B． （
，e） C． （0，
] D． [
，
）

8.设函数
的定义域为实数集R，且
，若
，则函数
的最小值是

A.1 B.3 C.
D.

9.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量
在
=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）

10.已知函数
的定义域为实数集,满足
(
是的非空真子集),在上有两个非空真子集
,且
,则
的值域为

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每题5分）

11.已知命题p：“?x∈R，?m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，且命题非p是假命题，则实数m的取值范围为________．

12.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且
在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为________．

13.已知函数
图象上一点
处的切线为
，若方程
在区间
内有两个不等实根，则实数的取值范围是

14.定义在R上的奇函数
满足
，且在
上的解析式为
，则

15.已知函数
分别是二次函数
和三次函数
的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数
，

则
的大小关系为

三、解答题

16（本题12分）.在
中，角
所对的边分别为
，已知
，

（1）求的大小；

（2）若
，求
的取值范围.

17（本题12分）.如图，四棱锥
的底面
是正方形，侧棱
⊥底面
，
，是
的中点．

（I）证明：
//平面
；

（II）求二面角
的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱
上是否存在点，使
⊥平面
？证明你的结论．

18（本题12分）.设
,用
表示
当
时的函数值中整数值的个数.

(1)求
的表达式.

(2)设
,求
.

(3)设
,若
,求
的最小值.

19（本题13分）．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100 km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)，的关系近似地满足u＝
除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．

(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；

(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

20（本题13分）.已知抛物线
的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1,F2为焦点的椭圆C过点
.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设点
，过点F2作直线
与椭圆C交于A,B两点，且
，若
的取值范围.

21（本题13分）.已知函数
，

（1）若
，求函数
的极值；

（2）设函数
，求函数
的单调区间；

（3）若在
（
）上存在一点
，使得

成立，求的取值范围.

数学（理科）答案

1.C 2.C 3.B 4.D 5.D 6.D 7.D 8.B 9.c 10.B

若
，则
，
；若
，则

；若
，则
，
，

故选B.

11.m
12.1 13.
14.
15.

16.解：（1）由已知条件结合正弦定理有：
，从而有：

，
.

（2）由正弦定理得：
，
，

，即：
.

17.解：法一：（I）以为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

设
，则
，
，
，

设
是平面BDE的一个法向量，

则由
，得

取
，得
．

∵
，

（II）由（Ⅰ）知
是平面BDE的一个法向量，又
是平面
的一个法向量．

设二面角
的平面角为
，由图可知

∴
．

故二面角
的余弦值为
．

（Ⅲ）∵

∴

假设棱
上存在点，使
⊥平面
，设
，

则
，

由
得

∴

即在棱
上存在点，
，使得
⊥平面
．

法二：（I）连接
，
交
于
，连接
．在
中，
为中位线，

,
//平面
．

（II）
⊥底面
, 平面
⊥底面
，
为交线,
⊥

平面
⊥平面
，
为交线,
=
，是
的中点
⊥

⊥平面
，
⊥

即为二面角
的平面角．

设
，在
中,

故二面角
的余弦值为
．

（Ⅲ）由（II）可知
⊥平面
，所以
⊥
，所以在平面
内过作
⊥
，连EF，则
⊥平面
．

在
中,
，
，
，
．

所以在棱
上存在点，
，使得
⊥平面
．

18.解对
,函数
在
单增,值域为
, 故
.

(2)
,故

=-n(2n+1)

(3)由
得
,且

两式相减,得

于是
故若
且
,则
的最小值是7.

19.

所以当v＝100时，y取得最小值．

答当卡车以100 km/h的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(16分)

20.（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得
，

设椭圆
的标准方程为
，

略

21.解：（Ⅰ）
的定义域为
，

当
时，
，
，



1







—

0

+







极小







所以
在
处取得极小值1.

（Ⅱ）
，

①当
时，即
时，在
上
，在
上
，

所以
在
上单调递减，在
上单调递增；

②当
，即
时，在
上
，

所以，函数
在
上单调递增.

（III）在
上存在一点
，使得

成立，即

在
上存在一点
，使得
，即

函数
在
上的最小值小于零.

由（Ⅱ）可知

①即
，即
时，
在
上单调递减，

所以
的最小值为
，由
可得
，

因为
，所以
；

②当
，即
时，
在
上单调递增，

所以
最小值为
，由
可得
；

③当
，即
时， 可得
最小值为
，

因为
，所以，

故

此时，
不成立.

综上讨论可得所求的范围是：
或
.