湖南省岳阳县一中2015届高三10月第二次月考数学(理科)

总分:150分 时量:120分钟

命题:易正红 审题:唐元波

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.

1.设集合
,那么下列结论正确的是( )

A.
B.
C.
D.

2.设
,
,则是成立的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.命题“
,都有
”的否定是( )

A.
,使得
B.
,使得

C.
,使得
D.
,使得

4.已知扇形的面积为
,半径为1,则该扇形的圆心角的弧度数是( )

A.
B.
C.
D.

5.已知
,则
( )

A．
B．
C．
D．

6.函数
的定义域为( )

A.
B.

C.
D.

7.若定义在上的函数
满足
,则
( )

A. 2 B. 1 C. 0 D. －1

8.若函数
在
处取得最大值,则
的奇偶性为( )

A. 偶函数 B. 奇函数

C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数

9.函数
的零点个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10.已知两条直线
和
,
与函数
的图象

从左至右相交于点
,
与函数
的图象从左至右相交于点
.记线段

和
在轴上的投影长度分别为
,当变化时,
的最小值为( )

A．
B． C． D．

二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11.函数
的最小正周期为 .

12.计算
的结果是 .

13.已知
,且
,则
.

14.已知函数
,若
,使得
都有
,则实数的取值范围是 .

15.下图展示了一个由区间
到实数集的映射过程:区间
中的实数对应数轴上

的点
,如图1;将线段
围成一个圆,使两端点
恰好重合(点
从点按逆时针方

向运动至点),如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在轴上,点的坐

标为
,如图3.图3中直线
与轴交于点
,则的象就是,记作
.

下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)

①
; ②
在定义域上单调递增; ③方程
的解是

;

④
是奇函数； ⑤
的图象关于点
对称.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)

已知集合

.若“
”是“
”的充分条件,求实数的取值集合.

17.(本小题满分12分)

已知函数

的

部分图象如图右所示.

(Ⅰ)求函数
的解析式;

(Ⅱ)将函数
的图象向右平移
个单位,得到函数
,

求
的单调递增区间.

18.(本小题满分12分)

已知定义域为的函数
是奇函数.

(Ⅰ)求
的值,并判断
的单调性(不必给出证明);

(Ⅱ)若对任意的
,不等式
恒成立,求的取值范围.

19.(本小题满分13分)

现需要对某旅游景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值万元与投入万元之间满足
且
,其中为大于的常数.当
时,
.

(Ⅰ)求
的解析式和投入的取值范围;

(Ⅱ)求旅游增加值取得最大值时对应的值.

20.(本小题满分13分)

已知函数
,若存在
,使
,则称
是函数
的一个不动点.设二次函数
.

(Ⅰ)若对任意实数,函数
恒有两个相异的不动点,求的取值范围；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若
的图象上
两点的横坐标是
的不动点,且
两点关于直线
对称,求的最小值.

21.(本小题满分13分)

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调递增区间;

(Ⅱ)若对一切实数
,都有
恒成立,求的取值范围.

(Ⅲ)求证:
,
.

第二次月考参考答案(理数)

一、选择题 D B C C B; A B A C B

二、填空题 11. 1 . 12.. 13.
. 14.
. 15 ②③⑤ .

三、解答题

16.【解】由
,

因为
,所以
……………………………………………………………4分

所以
,

由
,得
,所以
…………………………………………6分

因为“
”是“
”的充分条件,

所以
…………………………………………………………………………………9分

所以
,解得
.…………………………………………………10分

故实数的取值集合为
…………………………………………12分

17.【解】(Ⅰ)由图象知,
,则
,………………………………2分

又点
在函数图象上,

即
,即

又
,故
,

所以
,即
…………………………………………………………………4分

又点(0,1)在函数图象上,所以
,得
.

所以
为所求..………………………………………………………6分

(Ⅱ)由题知
…………………………8分

令
,得
………………………10分

所以
的递增区间是
……………………………………12分

【注】若考生未将单调区间写“区间形式”,则应扣除2分!

18.【解】(Ⅰ)因
是定义在上的奇函数,所以
,即
,

解得
,从而有
.…………………………………………………………2分

又由
知
,解得
,

经检验当
时,
为奇函数; ………………………………………5分

【注】以特值法求出
未写出“检验步骤”的同学,应扣除1分;

又

显然,随的增大而减小,即
在上为减函数. ……………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
为奇函数,

所以不等式
等价于
,

又
为上的减函数,所以
,

即对一切
有
成立,

所以
,解得
,即求. …………………………………………………12分

19.【解】(Ⅰ)因当
时,
,即
,解得
.………2分

所以
,

又因为
且
,解得

即投入的取值范围是
………………………………………………………6分

(Ⅱ)对
求导,得
,

又因为
,所以从广义上讲有,

当
时,
,即
递增,当
时,
,即
递减．

所以当
时为极大值点,也是最大值点,于是

①当
,即
时,投入50万元改造时取得最大增加值; …………………10分

②当
时,即
时,投入
万元改造时取得最大增加值. ……13分

【注】第(Ⅱ)问若未分类讨论,算出的结果至多只能得3分,即不超过第(Ⅱ)问的一半分.

20.【解】(Ⅰ)因函数
恒有两个相异的不动点,

所以
恒有两个不等的实根,

所以
对
恒成立, ……………………………4分

所以
,解得
,即求.…………………………………………6分

(Ⅱ)设
两点的横坐标为
,由(Ⅰ)知
,

所以
,且由题知
,…………………………………8分

又由题知
的中点在直线
上,即
,

显然点也在直线
上,于是
,………………………………10分

可化为
,

当且仅当
,即
时上式取等号,

所以的最小值为
.…………………………………………………………………13分

【注】第(Ⅱ)问若未说明取最小值的条件
,则至少要扣除1分.

21.【解】(Ⅰ)由
,.………………………………………………………………1分

①当
时,显然
;

②当
时,由
得
,显然当
时,
;

所以当
时,
在上单调递增;

当
时,
在
上递增;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)问知,当
时,
递增,且
,不合题意,舍去.……5分

当
时,由(Ⅰ)知,当
时,
,当
时,

所以当
时,
有极小值也是最小值,即
,

依题意
,…①……………………………………………………………7分

令
,则
,

于是
时,
,

同理知当