湖南省岳阳县一中2015届高三10月第二次月考数学(文科)

命题人： 罗时九 审题人：张华武

一、选择题（下列各小题的四个答案中仅有一个是正确的，请将正确答案填入答题纸的表格中，每小题5分，50分）

1.已知全集
，集合
，则
为 （ ）

A.
B.
C.
D.

2. 函数
的一个对称中心是 ( )

A.
B.
C.
D.

3．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )

A． y＝sin(2x－)　　　　　　　 B．y＝sin(2x－)

C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)

4．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是 (　　)

A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)

C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

5．函数
的图像大致为 （ ）

6．以下有关命题的说法错误的是（ ）

A．命题“若
则x=1”的逆否命题为“若
”

B．“
”是“
”的充分不必要条件

C．若
为假命题，则p、q均为假命题

D．对于命题

7. 已知一元二次函数
，且不等式
的解集为
，则
的解集为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内至少有一个极值点，则实数k的取值范围是 ( )

A．[1，＋∞) B．[1，) C．[1,2) [，2)

9.锐角
中，
分别是三内角
的对边，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义在
上的函数
满足条件
，且当
时，
，若
是方程
的两个实根，则
不可能是（ ）

A．30 B．56 C．80 D．112

二．填空题：(共35分把答案填在答题纸相应题号后的横线上)

11．函数
的单调增区间为________________．

12.已知函数
的定义域为
，则M=

13．命题p:
，使
,若
为假命题，则实数的取值范围是

14．函数
的部分图象如图所示,则函数的解析式为

15．对于三次函数

，给出定义：
是函数
的导函数，
是
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”。某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心。 若
，请你根据这一发现，求：

（1）函数
的对称中心为__________；

（2）
=________

三、解答题（6小题共75分，写出必要的文字说明或理由）

16．（本题满分12分）已知△
的内角
所对的边分别为
且
.

(1) 若
, 求
，
的值;

(2) 若△
的面积
求
的值.

17．（本题满分12分）设函数f(x)＝axn(1－x)＋b(x>0)，n为正整数，a，b为常数．

曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.

(1) 求a，b的值；

(2) 求函数f(x)的最大值．

18．（本题满分12分） 已知函数
．

（1）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

（2）若f(x)＝1，求
的值．

19.（本题满分13分）

已知集合
，

（1）
能否相等？若能，求出实数的值，若不能，试说明理由？

（2）若命题
命题
且是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

20．（本题满分13分）已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)证明：函数f(x)在R上是减函数；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

21．（本题满分13分）已知函数
有极小值
．

（1）求实数的值；

（2）若
，且
对任意
恒成立，求
的最大值；

（3）当
时，证明：
．

岳阳县一中2015届高三第二次月考试题

文科数学参考答案

1.已知全集
，集合
，则
为（ D ）

A.
B.
C.
D.

2. 函数
的一个对称中心是 ( A )

A.
B.
C.
D.

3．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 (C )

A．y＝sin(2x－)　　　　　　　 B．y＝sin(2x－)

C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)

4．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　C　)

A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)

C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

5．函数
的图像大致为（ A ）

6．以下有关命题的说法错误的是（ C ）

A．命题“若
则x=1”的逆否命题为“若
”

B．“
”是“”
的充分不必要条件

C．若
为假命题，则p、q均为假命题

D．对于命题

7．已知一元二次函数
，且不等式
的解集为
，则
的解集为（ C ）

A．
B．

C．
D．

8. 若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内至少有一个极值点，则实数k的取值范围是 ( B )

A．[1，＋∞) B．[1，) C．[1,2) D．[，2)

9.锐角
中，
分别是三内角
的对边，且
，则
的取值范围是（D）

A．
B．
C．
D．

10．定义在
上的函数
满足条件
，且当
时，
，若
是方程
的两个实根，则
不可能是（C ）

A．30 B．56 C．80 D．112

11．函数
的单调增区间为________________．

(
也对)

12. 已知函数
的定义域为
，则M=

13．命题p:
，使
,若
为假命题，则实数的取值范围

是

14．函数
的部分图象如图所示,则函数的解析式为

15．对于三次函数

，给出定义：
是函数
的导函数，
是
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”。某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心。

若
，请你根据这一发现，

求：（1）函数
的对称中心为__________；

（2）
=________ （1）(,1)（2）2015

16．（本题满分12分）

已知△
的内角
所对的边分别为
且
.

(1) 若
, 求
，
的值;(2) 若△
的面积
求
的值.

解: (1)∵
, 且
,

∴
. ……2分

由正弦定理得
， …… 3分

∴
. ………… 6分

(2)∵
∴
.…… 9分

∴
. ……10分

由余弦定理得
，…… 11分

∴
. ……12分

17．设函数f(x)＝axn(1－x)＋b(x>0)，n为正整数，a，b为常数．

曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.

(1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的最大值．

解：(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，

可得1＋b＝1，即b＝0.

因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a.

又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，

所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，

f′(x)＝(n＋1)xn－1. 令f′(x)＝0，解得x＝，

即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x0＝.

在上，f′(x)>0，故f(x)单调递增；

而在上，f′(x)<0，f′(x)单调递减．

故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f＝n＝.

18．本题满分12分）已知函数
．

（1）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

（2）若f(x)＝1，求
的值．

解：（1）

所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π． 4分

令
，得

函数y＝f(x)的单调递增区间为
． 6分

（2）
，

12分

19.（本题满分13分）

已知集合
，

（1）
能否相等？若能，求出实数的值，若不能，试说明理由？

（2）若命题
命题
且是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（1）当
时

当
时
显然

故
时，

（2）

当
时，
则
解得

当
时，
则

综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是
或

20．(13分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)证明：函数f(x)在R上是减函数；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

(1)解　因为f(x)是R上的奇函数，

故f(0)＝0，即＝0，解得b＝1， 从而有f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

∴f(x)＝. ∴a＝2，b＝1. 4分

(2)证明　设x1

f(x1)－f(x2)＝－ ＝

＝.

∵x10，∴f(x1)>f(x2)． 故f(x)是R上的减函数． 4分

(3)解　由(2)知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k. 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0恒成立，

从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 4分

21．已知函数
有极小值
．

（1）求实数的值；

（2）若
，且
对任意
恒成立，求
的最大值；

（3）当
时，证明：
．

解析（Ⅰ）
，

令
，令

故
的极小值为
，得
． 4分

（Ⅱ）当
时，令
，

令
，
，故
在
上是增函数

由于
， 存在
，使得
．

则
，知
为减函数；
，知
为增函数．

又
，
，所以
=3． 9分

（Ⅲ）要证
即证

即证
，令
，得

令
为增函数，

又
，所以

是增函数，又
=
． 13分