江苏省洪泽外国语中学2015届高三9月摸底考试数学试题





数学参考答案与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．
；　2．3；　3．1；　4．
　　5．1；　6．1；　　7．15； 8．
；　

9．
；　 10．
； 11．
； 12．10； 13．
； 14．

二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤．

15．（1）

， …………………………………………2分

又
，
， …………………………………6分

． ……………………………………8分

（2）
，
，

或

由余弦定理，得
，

．…………………………………………………………………………………14分

16．⑴因为
是菱形，
，所以是
的中点，

又是
的中点，所以
． ……………………………………………2分

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
． ………………………………………………………6分

⑵因为
平面
，
平面
，所以
，……………………8分

又因为
是菱形，所以
，………………………………………………10分

因为
，所以
平面
………………………………………………12分

又因为
平面

所以平面
平面
．……………………………………………………………14分

17．（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：

（元）
（万元），

从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：

（元）
（万元），

写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列，…2分

所以函数表达式为：

；…………6分

（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为：

……………………………………10分

（元）……………………12分

当且仅当
，即
时等号成立．

答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． …………………………14分

18．（1）由题意知，
，
，
，……………………………………4分

解得
，

所以椭圆的标准方程为
．…………………………………………………6分

（2）设直线
的方程为
，

由方程组
，得
，……………………………………8分

解得
，所以
，
，……………10分

同理可得
，
，……………………………………………12分

，

， …………………………………………14分

所以
，故直线
恒过定点
． …………………………16分

19．（1）当
时，由已知得

，
，
，

因为
是等差数列，所以
，
，
成等差数列，所以
，

即
，所以
，解得
，或
． …………2分

又
时，
，对
，
成立，所以数列
是等差数列；

时，
，对
，
成立，所以数列
是等差数列；

所以数列
的通项公式分别为
或
。………………………………4分

（2）因为
是等比数列，所以
，
，
成等比数列，所以
，

即
，化简得
，所以
或
，

当
时，
，所以
，不满足
．

当
时，若
，则与
矛盾，所以
，因此
．…………8分

则
，
，因为
按某种顺序排列成等差数列，

所以有
，或
，或
，

解之得
． …………………………………………………………12分

又因为
，所以
，所以
，

由
，得
，即
，

因为正整数，所以的取值集合为
．………………………………………………16分

20．（1）因为
，所以
，因此
，

所以函数
的图象在点
处的切线方程为
， ………………………2分

由
得
，由
，得

………………………………………………4分

（2）因为
，

所以
，由题意知
在
上有解，

因为
，设
，因为
，

则只要
，解得
，

所以b的取值范围
………………………………………………8分

（3）不妨设
．因为函数
在区间
上是增函数，所以
，

函数
图象的对称轴为
，且
，

（ⅰ）当
时，函数
在区间
上是减函数，所以
，

所以
等价于

即

等价于
在区间
上是增函数，

等价于
在区间
上恒成立

等价于
在区间
上恒成立

所以
，又

所以
………………………………………………10分

（ⅱ）当
时，函数
在区间
上是减函数， 在
上为增函数．

①当

等价于

等价于
在区间
上是增函数

等价于
在区间
上恒成立

等价于
在区间
上恒成立

所以
，又

所以
………………………………………………12分

②

等价于

等价于
在区间
上是增函数

等价于
在区间
上恒成立

等价于
在区间
上恒成立

所以
，故
． ……………………………………14分

③

由
图象的对称性知，只要
对于①②同时成立，那么对于③，

则存在
，

使
恒成立；

或存在
，

使
恒成立．

因此，

综上，b的取值范围是
． ……………………………………………………16分

数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准

21A．设外圆半径为，内圆半径为，作两圆的公切线
．

设
交内圆于，

连结
，
，则
,

所以
．………………………………………………………………5分

由弦切角定理知
，

则
,
,

所以
，即
为定值．………………………………10分

21B．（1）由

=
，得
，所以
；……………………5分

（2）由（1）知

则矩阵的特征多项式为

令
，所以矩阵的特征值为
或．……………………………………10分

21C．（1）因为
，即
，所以
，

消去参数，得⊙的直角坐标方程为：
；…………………3分

又因为
，消去参数，得直线的普通方程为
．………………6分

（2）由（1）知，圆心到直线的距离
，…………………8分

所以直线和⊙相交．…………………………………………………………………10分

21D．∵a、b、c均为正实数，

∴
（
＋
）≥
≥
，当且仅当
时等号成立；

（
＋
）≥
≥
，当且仅当
时等号成立；

（
＋
）≥
≥
．当且仅当
时等号成立；…………………6分

三个不等式相加即得
+
+
≥
+
+
，

当且仅当
时等号成立．………………………………………………………10分

22．⑴如图，以
为原点，
所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
，

则
，

所以
，

，

所以直线
与
所角的余弦值为
．………………5分

⑵在
中有