广东广雅中学2014—2015学年度上学期高三10月月考

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

【注意事项】

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
,
,则

A．
B．
C．
D．

2．若复数
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．下列函数中，在区间
上为增函数的是

A．
B．
C．
D．

4． 已知
，则

A．
B．
C．
D．

5．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面,下列命题中错误的是

A． 若
,
,
,则
B．若
,
,
,则

C．若
,
,则
D．若
,
,
,则

6．巳知双曲线
的中心在坐标原点，实轴在
轴上，离心率为
，且
上一点到
的两个焦点的距离之差为12，则双曲线
的方程为

A．
　　B．
　　C．
　　D．

7．在平面直角坐标系
上的区域
由不等式组
给定．若
为
上的动点，点
的坐标为
，则
的最大值为

A．
　　 B．
　　　 　C．
　　 　 D．3

8．若
是一个集合，
是一个以
的某些子集为元素的集合，且满足：①
属于
，
属于
；②
中任意多个元素的并集属于
；③
中任意多个元素的交集属于
．则称
是集合
上的一个拓扑．已知集合
，对于下面给出的四个集合
：

①
；

②
；

③
；

④
．

其中是集合
上的拓扑的集合
的序号是

A. ① B. ② C. ②③ D. ②④

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9. 计算
．

10．函数
的单调递增区间是 ．

11．执行如图所示的程序框图,若输入
的值为
,则输出
的值为

______.

12．曲线
过点
的切线方程为 ．

13．某同学为研究函数

的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形
和
，

点
是边
上的一个动点，设
，则
． 请

你参考这些信息，推知函数
的值域是 ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线
的参数方程为
为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的方程为
，则曲线
和
交点的直角坐标为_________ ．

15． (几何证明选讲选做题)如图所示，圆
的直径
，

为圆周上一点，
，过
作圆的切线
，过
作
的

垂线
，垂足为
，则线段
的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
（
,
,
）的图象与
轴的交点为
，它在
轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为

和
．

(1)求函数
的解析式；

(2)若锐角
满足
，求
的值．

17.（本小题满分12分）

每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.

(1) 求某两人选择同一套餐的概率；

(2) 若用随机变量
表示某两人所获优惠金额的总和，求
的分布列和数学期望.

18.（本小题满分14分）

如图，在四棱柱
中，侧面
⊥底面
，
，底面
为直角梯形，其中
，
，

为
中点.

(1)求证：
平面
；

(2)求锐二面角
的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知数列
满足
，

(1)设
试用
表示
（即求数列
的通项公式）；

(2)求使得数列
递增的所有
的值．

20.（本题满分14分）

已知椭圆
经过点
，且椭圆的离心率
．

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆的右焦点
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点
及
，设线段
，
的中点分别为
．求证：直线
恒过一个定点．

21. （本题满分14分）

已知函数
.

(1)若函数
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围；

(2)在(1)的条件下，且
，
，
，求
的极小值；

(3)设
（

），若函数
存在两个零点
，且满足
，问：函数
在
处的切线能否平行于
轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.

广东广雅中学2014—2015学年度上学期高三10月月考

数学（理科）试题参考答案及评分标准

命题：杨志明 统审：赖淑明

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

A

A

D

B

C

D



二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9.
10.
（或
） 11. 15 12.
13.
14.
15.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

1．A.【解析】易得
,
,所以

,故选A．

2．C．【解析】

3．A．【解析】B、C为减函数，D为双钩函数，双钩函数在
上先减后增.

4．A．解析：
，即
，

5．D．解析】ABC是正确命题,选D．

6．B．【解析】
，
，
，
，则所求双曲线方程为
.

7．C．作出可行域
，由图像知，当点
的坐标为
或
时，
的最大值为
．

8．D. 解析：①不是拓扑，因为
，
，但
；②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；③不是拓扑，因为全集
；④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．

二、填空题：

9．
.解：

10．【解析】
．
，即
，
，即
.

11． 15.解析：第一次循环后:
；第二次循环后:
；

第三次循环后:
；第四次循环后:
；故输出15.

12．
，解析：设切点为
，则切线为
，把
代入上式，得
，故切线方程为

13．
解析：根据图形可知，当
时（点P在BC中间），
，当
或
时（点P在B点或C点），
，∴
的值域是
．

14．
.考查极坐标方程.
，联立方程很快得出结果

15．
.解：在
中，
，故
，故
，

.由
是圆
的切线知，
，故
，
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. 解：（1）由题意可得
，
即
，
…………3分

，
由
且
，得
………5分

函数
． …………6分

（2）由于
，即
且
为锐角，所以
…………8分

…………10分

．即
的值为
…………12分

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.

解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为

. …………4分

(2) 由题意知某两人可获得优惠金额
的可能取值为400，500，600，700，800，1000.

，

，

，
…………8分

综上可得
的分布列为：

400

500

600

700

800

1000





















…………10分

.

即
的数学期望为775. …………12分

18.(1)证明：如图，连接
，则四边形
为正方形，所以
，且
，…………2分

故四边形
为平行四边形，所以
．…4分

又