广东省遂溪县2015届高三上学期第一次统测

数学(理)

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设
,则实数P的值为:

A . －4 B . 4 C . －6 D . 6

2、若复数
是纯虚数，则实数
的值为：

A . 1 B . 2 C . 1或2 D . －1

3、不等式
成立是不等式
成立的是：

　　A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件

　　C. 充要条件 D . 非充分条件

4、设
的等比中项，则
的最大值为：

A . 3 B . 4 C . 5 D . 7

5、已知
满足条件
，则
的值为：

　　

6、已知向量
，若
与
垂直，则

A．
B．
C．
D．4

7、若
、
为两条不重合的直线，
、
为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是：

① 若
、
都平行于平面
，则
、
一定不是相交直线；

② 若
、
都垂直于平面
，则
、
一定是平行直线；

③ 已知
、
互相垂直，
、
互相垂直，若
，则
；

④
、
在平面
内的射影互相垂直，则
、
互相垂直．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

8、定义在
上的函数
满足
，
为
的导函数，

　　已知
的图像如图所示，若两个正数
、

　　
满足
，则
的取值范围是:

　　

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14．15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

9、在坐标平面内，与点
距离为 2 的直线共有　　　　条.

10、等比数列
　　　　　.

11、某中学举行电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优

秀（含80分）现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后

　　分成5组，绘制成频率分布直方图如图所示 . 已知图中从

　　左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30、0.15、

　　0.10、0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是 ；

　　成绩优秀的频率是 .

12、已知
展开式中的常数项为 1120，其中实数a 为常数，则展开式中各项系数的和为 　　　.

13、已知
是
内的一点，且
，若
和
的面分别为
、
、
，则
的最小值是_______.

14、直线
被圆
所截得的弦长为 ．

15、如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC =3，AB = 4 ，

　　延长OA交圆 O于D点，则△ABD的面积是 ___________ ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

16、(本题满分13分)

为支持2010年广洲亚运会，广洲市某校某班拟选派4人为志愿者参与亚运会，经过初选确定5男4

女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等。

　　（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？

　　（2）设至少有几名男同学当选的概率为
，当
时，
的最小值　？

17、(本题满分12分)

已知向量



，函数

(Ⅰ) 求函数
的单调递增区间；

(Ⅱ) 如果
的三边
满足
，且边
所对的角为
，试求
的范围及函数
的值

域．

18、(本题满分13分)

如图，在直三棱柱
中，
，
为
中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：平面

平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

19、(本题满分14分)

已知向量
，
是坐标原点，动点
满足
.

　　（1）求动点
的轨迹；

（2）设
、
是点
的轨迹上不同两点，满足
，在
轴上是否存在点
，使得
, 若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由.

20、(本题满分14分)

已知函数
的导函数
数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图象上。

（I）求数列
的通项公式及
的最大值；

（II）令
，其中
，求
的前
项和。

21、(本题满分14分)

设
为非负实数，函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）讨论函数
的零点个数，并求出零点.

　　　　　广东省遂溪县2015年高第一次统测数学(理)参考答案

一、选择题：B B A C A C A C

二、填空题：

9、2　　　　10、
　　　　11、100；　0.15　　　　12、1 或 6561 　 13、18

14、
　　　　　　15、

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

16、解：（1）由于每位候选人当选的机会均等，9名同学中选4人共有
种选法，其中女生1人且男生3人当选共有
种选法，故可求概率
………………4分

　　 （2）
………………………………………………………………6分

……………………………8分

…………………………………10分

　　　 ∴　要使
，
的最大值为2. ………………………………………………12分

17、解：

…………………3分

　　　令
，解得
. …5分

　　　　　　　故函数
的单调递增区间为
.………………6分

　　　　　

　　　　　　　
……………8分

，

， ……10分

　　　　　　　　
即
的值域为
.

　　　　　　　　综上所述，
的值域为
.………………………13分

18、（Ⅰ）证明：∵
，∴
……1分

　　　　　　　又由直三棱柱性质知
，∴
平面
， ……………3分

　　　　　　　　　又
平面
∴
。…………………………5分

　（Ⅱ）证明：由
，
为
中点，可知
，…………6分

　　　　　　∴
即
，又
……………………8分

　　　　　　∴
平面

　　　　　　又
平面
故平面

平面
…………………………10分

　　　　（Ⅲ）解：
……………13分

19、解：（1）令P(x，y)，则

　　　　　　
即
………………………4分

　　　　（2）设
设B（x1,y1）,C（x2,y2）

　　　　　　　由
，
…6分

　　　　　　　

　　　　　　　即
即

　　　　　　
………………8分

　　　　　　
，即
………………………10分

　　　　　　若存在则
………………14分

20、解：（I）
，
………………1分

　　　　由
得：
所以
.……………………2分

　　　　又因为点
均在函数
的图象上，所以有

　　　　当n=1时，
, 当
…………………4分

　　　
, 令
………………………… 5分

　　　　∴当n=3或n=4时，
取得最大值12, ………………6分

　　　　综上，
，当n=3或n=4时，
取得最大值12.……………7分

　　（II）由题意得
, …………………………8分

　　　　所以
，即数列
是首项为8，公比是
的等比数列，

……………………………………………………9分

　　　　故
的前n项和
…………① ……………10分

　　　
…………②………………11分

　　　所以　①—②　得：
……………12分

　　　
. …………………………14分

21、解：（Ⅰ）当
时，
， …………………………1分

① 当
时，
，

∴
在
上单调递增； ……………2分

② 当
时，
，

∴
在
上单调递减，在
上单调递增； ……………………3分

综上所述，
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
. ……4分

（Ⅱ）（1）当
时，
，函数
的零点为
………5分

（2）当
时，
………………6分

故当
时，
，二次函数对称轴
，

∴
在
上单调递增，
； ………………7分

当
时，
，二次函数对称轴
，

∴
在
上单调递减，在
上单调递增； ……………8分

∴
的极大值为
，

当
，即
时，函数
与
轴只有唯一交点，即唯一零点，

由
解之得函数
的零点为

或
（舍去）； ………………10分

当
，即
时，函数
与
轴有两个交点，即两个零点，分别为

和
； ……………11分

当
，即
时，函数
与
轴有三个交点，即有三个零点，

由
解得，
，

∴函数
的零点为
和
. ………12分

综上可得，当
时，函数的零点为
；

　　　　　　　　　　　　　当
时，函数的零点为

　　　　　　　　　　　　　当
时，函数的零点为
和