广东省遂溪县2015届高三上学期第一次统测

数学(文)

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、在复平面内，复数
（
是虚数单位）的共轭复数
对应的点位于：

　　A．第一象限 　B．第二象限 　C．第三象限 　　D．第四

2、在等差数列
中，已知
，
是数列
的前
项和，则

　　A . 45 B . 50 C . 55 D . 60

3、设函数
的图象向右平移
个单位后，图象恰好为函数
的图象，则
的值可能为：

4、某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时的

销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时至10

时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 ：

A.
万元 B.
万元 C.
万元 D.
万元

5、在△ABC中，AB=AC，BC=2，则

　


不确定

6、己知函数
是偶函数，当
时，有
，且当
时，
的值域是
，则
的值是：

　　

7、已知直线
平面
，直线
平面
，有下列4个命题：

①
； ②
； ③
； ④
．

其中正确的两个命题是 ：

A． ① ② B．③ ④ C．② ④ D．① ③

8、如图，
内切于扇形 OAB，
，若在扇形 OAB 内

任意取一点，则该点落在
内的概率为 ：

9、已知
且

的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 ：

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

10、如图所示，曲线是函数
的大致图象，

则
等于：

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14．15题是选做题，考生只能选做一题，两题 全答的，只计算前一题得分。

11、已知命题 p 为真命题，q：y = ( x－a ) 2 在 [ 1，+∞
为增函数，又
为假命题，则 a 的取值范围是 .

12、已知函数
， 对于数列
有
（
，且
），如果
，那么
，
．

13、设函数
，则实数
的值是 .

14、已知点
的面积是 .



三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

16、（本小题满分12分）

已知向量
且.

（1）求tan A的值；

（2）求函数
的值域.

17、（本小题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1，AA1＝AB＝2a，D、E分别为CC1、A1B的中点．

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求证：AE⊥BD；

（3）求三棱锥D—A1BA的体积 ．

18、（本小题满分13分）某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为
的宿舍楼．已知土地的征用费为2388元/
，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2．5倍． 经工程技术人员核算，第一．二层的建筑费用都为445元/
，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/
． 试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用．（总费用为建筑费用和征地费用之和）

19、（本小题满分14分）

已知数列

的图象上。

（I）求数列
的通项公式；

（II）设

20、（本小题满分14分） 如图所示，椭圆
的离心率为
，且A（0，1）是椭圆C的顶点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点A作斜率为1的直线
，在直线
上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程。

21、（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）如果函数
在
上是单调增函数，求
的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数
，使得方程
在区间
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

广东省遂溪县2015年高考第一次统测数学(文)参考答案

一、选择题：B C C C A C D C D C

二、填空题： 11、
　　12、
　　13、
　　14、
　　15、28　

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

16、解：（1）由题意得
， ……………………2分

因为
，所以
. ……………………4分

（2）由（1）知
得

. ……………6分

因为
，所以
. ……………………7分

当
时,
有最大值
； ……………………9分

当
时，
有最小值-3； ……………………11分

故所求函数
的值域是
. ……………………12分

17、解： （1）取AB中点G，连结EG．

∵ E为A1B中点，∴ EG

A1A，且EG = a； ……1分

又 ∵D为C1C中点，∴ DC
EG，

∴ CDEG为平行四边形， ……………………2分

∴ DE ∥CG，而CG
面ABC，DE
面ABC，

∴ DE ∥平面ABC． ……………………4分

（2）由已知有CG⊥AB，A1A ⊥平面ABC，CG
面ABC，∴ A1A⊥CG，

∴CG⊥平面ABA1. ……………………6分

又 ∵DE∥CG，∴DE⊥平面ABA1，而且AE
面ABA1，∴ DE⊥AE．……………………7分

又 ∵AE⊥A1B，而
……………………8分

∴ AE⊥平面BDA1．∴ AE⊥BD． ……………………9分

（3）∵ DE⊥平面ABA1，∴
……………………10分

由已知

在正△ABC中，CG＝
，∴DE＝
． ……………………12分

∴
……………………13分

18、解：设楼高为
层，总费用为
元，

　　则征地面积为
，征地费用为
元， ……………………2分

　　楼层建筑费用为

　　
元，

　　从而　

……………………8分

　　整理化简，得
………………11分

　　当且仅当
，解得
（层）时，总费用
最小． ……………………12分

　　故当这幢宿舍的楼高层数为20层时，最小总费用为
元． ……………………13分

19、解：（I）由题意，
， ……………………1分

……………………3分

……………………5分

……………………6分

　　（II）
……………………7分

　　　
① ………………9分

　　　　
② …………10分

　　　　②—① 得，
……………11分

……………14分

20、解：（1）由题意可知，
　　　　　　　　　　　　 ……………………1分

　　　　　　
，即
　　　　　……………………3分

　　　　　　所以椭圆C的方程为：
　　　　　　　　　　　 ……………………4分

　　（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则可知F1（-2，0），F2（2，0），

　　　　　　直线
方程为：
　　　　　　　　 ……………………6分

　　　　　　因为M在双曲线E上，所以要使双曲线E的实轴最长，只需
最大。

　　　　　　又
关于直线
的对称点为

　　　　　　则直线F2F1′与直线
的交点即为所求的点M 　　　　　　　　……………………9分

　　　　　　∵　直线F2F1′的斜率为
，其方程为：

　　　　　　∴　
，解得
，∴
……………………11分

　　　　　　又

　　　　　　∴　
，此时

　　　　　　故所求的双曲线方程为
　　　　　　　　 ……………………14分

21、解：（Ⅰ）当
时，
在
上是单调增函数，符合题意．…1分

　　　　　　　当
时，
的对称轴方程为
，

　　　　　　　由于
在
上是单调增函数，

　　　　　所以
，解得
或
，所以
． 　　　　　 …………………3分

　　　　　　　当
时，不符合题意． 综上，
的取值范围是
． ……4分

　　　　（Ⅱ）把方程
整理为
，

　　　　　　　即为方程
． 　　 ……………………5分

　　　　　　　设

，

　　　　　原方程在区间（
）内有且只有两个不相等的实数根,

　　　　　即为函数
在区间（
）内有且只有两个零点． ……………………6分

　　　　　

…………7分

　　　　　　　令
，因为
，解得
或
（舍） 　　…………………8分

　　　　　　　当
时,
,
是减函数；

　　　　　当
时,
，
是增函数． 　　…………………10分

　　　　　
在（
）内有且只有两个不相等的零点, 只需
　　…………13分

　　　　　即
∴

　　　　　解得
, 所以
的取值范围是（
） ． 　…………………14分