山西省忻州一中2015届高三第一次四校联考数学试题（理）

（满分150分，考试时间120分）

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1. 设全集为R，集合
，则

A．[(2，2] B．
C．
D．

2. 已知是虚数单位，则复数
的值为

A． B．
C． D．

3. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入的值为

A．2 B．

C．－2或－3 D．2或－3

4. 实数
满足
，则
的最大值是

A．－1 B．0 C．3 D．4

5. 二项式
展开式中的常数项是

A．180 B．90 C．45 D．360

6. 三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为

A．
B．
C．
D．

7. 已知双曲线
的离心率为
，则此双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

8. 等比数列
的前项和为
，若
，则公比=

A．－2 B．2 C．3 D．－3

9. 点
均在同一球面上，且
、
、
两两垂直，且


,则该球的表面积为

A．
B．
C．
D．

10. 若满足
，
满足
，函数
，

则关于的方程
解的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

11. 抛物线
的焦点为，
为抛物线
上一点，若
的外接圆与抛物线
的准线相切(
为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则

A．2 B．4 C．6 D．8

12. 已知函数
是定义在R上的偶函数，对于任意
都
成立；当
，且
时，都有
．给出下列四个命题：

①
；②直线
是函数
图象的一条对称轴；③函数
在
上为增函数；④函数
在
上有335个零点．

其中正确命题的个数为

A．１　　 B．２　　 　　C．３　 　　　 D．４

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13. 已知
，
，
，且
与
垂直，则实数
的值为 ▲ .

14. 数列
的前项和记为
，
，
，则
的通项公式

为 ▲ .

15．函数
的最小值是 ▲ .

16．在等比数列
中，
，则能使不等式

成立的最大正整数是 ▲ .

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17. (本小题满分12分)

在
中，角，,
的对边分别是，
，，其面积为
，且
.

（1）求;

（2）若
，
,求.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
,
，
,
,
分别为
的中点.

（1）证明：
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.

19. (本小题满分12分)

为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：

班 级

甲

乙

丙

丁



志愿者人数

45

60

30

15



为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查.

（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率；

（2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用
表示抽得甲班志愿者的人数，求
的分布列和数学期望.

20. (本小题满分12分)

已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
是椭圆
的右顶点与上顶点，直线
与椭圆相交于
两点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）当四边形
面积取最大值时，求
的值．

21. (本小题满分12分)

已知函数
.

（1）设函数
在区间
上不单调，求实数的取值范围；

（2）若
,且
对
恒成立，求
的最大值.

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
，过点作圆
的切线交
的延长线于点，
的平分线分别交
和圆
于点
，若
.

（1）求证：
；

（2）求
的值.

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
：
（为参数，(为
的倾斜角），以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为：
.

（1）若直线
与曲线相切，求的值；

（2）设曲线上任意一点的直角坐标为
，求
的取值范围.

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知正实数
满足：
.

（1）求
的最小值;

（2）设函数
，对于（1）中求得的，是否存在实数，使得
成立，说明理由.

2015届高三年级第一次四校联考理科数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：CDDCA 6-10：BCABC 11-12：BB

二、填空题（每小题5分，共20分） 13.
14.
15.
16. 7

三、解答题：

17 (本小题满分12分)

解：（1）由已知得：
………4分

………5分

由A是内角，∴
………6分

（2）由
得
………7分

∴
………10分

由正弦定理得：
………12分

18 (本小题满分12分)

解：(1)易知AB,AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB,AD, AP所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．设
，则相关各点的坐标为：
，
，
，
,
,

. ………2分

从而
,
＝
，
＝
．

因为
，所以
·
＝
.

解得
或
(舍去)． ………4分

于是
＝(
，1，－1)，
＝(
，1,0)．

因为
·
＝－1＋1＋0＝0，所以
⊥
，即
． ………6分

(2)由(1)知，
＝(
,1,-2)，
＝(0，2,-2)．

设
是平面PCD的一个法向量，则

即

令
，则＝(1，
，
)． ………9分

设直线EF与平面PCD所成角为
，则

＝|
〈，
〉|＝|
|＝
.

即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为
. ………12分

19. 解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15,20,10,5…2分

从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有
种，

这两名志愿者来自同一班级的取法共有
+
+
+
=350. ………5分

∴
. ………6分

（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15,10. X的可能取值为
， ………8分

，
，
.

∴X的分布列为：

X



















 ………11分

………12分

20.(1) 由题意知：
＝
∴

，∴
. ……2分

又∵圆
与直线
相切， ∴
，∴
， ……3分

故所求椭圆C的方程为
………4分

（2）设
，其中
，

将
代入椭圆的方程
整理得：
，

故
．① ………5分

又点
到直线
的距离分别为
，

．

………7分

所以四边形
的面积为

………9分