成都实验外国语学校高2012级10月月考文科数学试题

（总分150分，时间120分钟）

命题人：赵光明

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、设集合
，集合N＝
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
= ( )

A．
B．
C．

D．

3.“
”是“直线
与直线
平行”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. △ABC中，若
，则△ABC为（ ）

A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 无法确定

5．下列命题中是假命题的是（　 ）

A．
;

B.
函数
是偶函数；

C．
使得
；

D．
是幂函数，且在
上递减；

6．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．7 B．
C．
D．

7．已知f(x)＝
，则下列四图中所作函数的图像错误的是( 　)

8.如右图所示，输出的
为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知椭圆
(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线
与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义域为
的函数
图象上两点
是
图象上任意一点，其中
.o为坐标原点已知向量
，若不等式
对任意
恒成立，则称函数
在
上“k阶线性近似”．若函数
在
上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.）

11．为了解高2012级学生的身体发育情况，抽查了该年级100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如右图：根据右图可得这100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是_____ ▲____

12.设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a,b,c，若△ABC的面积为
，则
= ▲ .

13． 若
，则
的最小值为_____ ▲_______

14. 二次函数
的一个零点大于0且小于1，另一零点大于1且小于2，则
的取值范围是_____ ▲____

15．已知函数
的对称中心为M
，记函数
的导函数为
，
的导函数为
，则有
。若函数
，

则可求得：


▲

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）。

16.（本小题满分12分）

已知向量
，
．函数
．

(I)若
，求
的值；

(II)在
中，角
的对边分别是
，且满足
，

求
的取值范围．

▲

17.（本小题满分12分）

已知函数
，数列
满足
。

（1）求证：数列
是等差数列；

（2）设
，记数列
的前
项和为
，求证：

▲

18. （本小题满分12分）

已知关于x的二次函数
.

(I)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数
在区间
上是增函数的概率；

(II)设点(a，b)是区域
内的一点，求函数
在区间
上是增函数的概率．

▲

19.（本小题满分12分）

（如图1）在平面四边形
中，
为
中点，
，
，且
，现沿
折起使
，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.

（1）求三棱锥
的体积；

（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线
与直线
所成角为
？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由.

▲

20．（本小题满分13分）

动点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和它到直线l：x=4的距离之比是常数
，O为坐标原点．

（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？

（Ⅱ）已知圆C的圆心在原点，半径长为
，是否存在圆C的切线m，使得m与圆C相切于点P，与轨迹E交于A、B两点，且使等式
成立？若存在，求出m的方程；若不存在，请说明理由．

▲

21．（本小题满分14分）

已知函数f?(x)=xlnx(x∈(0，+∞))．

（Ⅰ）求f?(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数g(x)=2f?(x)-blnx+x在
上存在零点，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）任取两个不等的正数x1、x2，且x10使
成立，

求证：x0>x1．

▲

成都实外高2012级10月月考文科数学

参考答案

一、请将选择题答案填在下表中(10X5=50)。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

A

B

A

D

D

D

A

C



二、填空题（共计25分，5分／小题）

11、 40 12、 4

13、
14、 （
，1）

15、 -8046

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）解：

18（本小题满分12分）

(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)

依条件可知事件的全部结果所构成的区域为
，构成所求事件的区域为三角形部分．由
得交点坐标为
，

19（本小题满分12分）

解：（1）因为
分别为
的中点，所以
.又
平面
，
平面
，所以
平面
，同理：
平面
.

∴平面
平面
且
，

与
的夹角等于
与
的夹角（设为
）

易求
.

∵平面
平面
，∴
到平面
的距离即
到平面
的距离，过
作
的垂线，垂足为
，则
为
到平面
的距离.

（2）因为
平面
，
，所以
平面
，所以
.又因为四边形
是正方形，所以
.

如图，建立空间直角坐标系，因为
，

所以
，

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意得，
，

化简得：
，即轨迹E为焦点在x轴上的椭圆．

（Ⅱ）设A(x1，x2)，B(x2，y2)．

∵
=(
)?(
)=
+
+
+
，

由题知OP⊥AB，故
=0，
=0．

∴
=
+
=
-
=0．

假设满足条件的直线m存在，

①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x=
，

代入椭圆
，得y=
．

∴
=x1x2+y1y2=-2-

0，这与
=0矛盾，故此时m不存在．

②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b，

∴ |OP|=
，即b2=2k2+2．

联立
与y=kx+b得，(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0，

∴ x1+x2=
，x1x2=
，

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=
，

∴
=x1x2+y1y2=
+
=0．

∴ 7b2-12k2-12=0，

又∵ b2=2k2+2，

∴ 2k2+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在．

综上所述，不存在直线m满足条件

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
，

由
，即
时
，所以
在区间
上单调递增，

由
，即
时
，所以
在区间
上单调递减，

∴ 函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为

（Ⅱ）∵ 函数g(x)=2f?(x)-blnx+x在
上存在零点，

∴ 方程
在
上有实数解．

易知x=1不是方程的实数解，

∴ 方程
在
上有实数解，

即方程
在
上有实数解．

设

，

，

∵
，∴
，
，

当
，即
时，
；

当
，即
时，
，

∴
在
上单调递减，在
上单调递增，

∴
，

∴ 实数b的取值范围为
．

（Ⅲ）∵ 存在x0>0使
成立，

∴
成立．

要证明：x0>x1 成立，

只需证明
成立，

只需证明
成立，

只需证明
成立，

只需证明
成立．

设
，∵ x1

令
，

∵