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江苏省2015年高考一轮复习备考试题

三角函数

一、填空题

1、（2014年江苏高考）已知函数
与
，它们的图象有一个横坐标为
的交点，则
的值是 ▲ ．

2、（2013年江苏高考）函数
的最小正周期为 。

3、（2012年江苏高考）设
为锐角，若
，则
的值为 ▲ ．

4、（2015届江苏南京高三9月调研）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝ ▲ ．

5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）函数
的最小正周期为 ▲ ．

6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知函数
的图象上有一个最高点的坐标为
由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与
轴交于点
则此解析式为 ▲

7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知tanα＝－2，，且＜α＜π，则cosα＋sinα＝ ▲ ．

8、（南通市2014届高三第三次调研）已知函数
的图象如图所示，则
▲ ．

9、（徐州市2014届高三第三次模拟）在平面直角坐标系
中，直线
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为 ▲ ．

10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f()的值为 ▲ ．

二、解答题

1、（2014年江苏高考）已知
。

（1）求
的值；

（2）求
的值。

2、（2013年江苏高考）如图，游客从某旅游景区的景点
处下山至
处有两种路径。一种是从
沿直线步行到
，另一种是先从
沿索道乘缆车到
，然后从
沿直线步行到
。现有甲．乙两位游客从
处下山，甲沿
匀速步行，速度为
。在甲出发
后，乙从
乘缆车到
，在
处停留
后，再从匀速步行到
。假设缆车匀速直线运动的速度为
，山路
长为
，经测量，
，
。

（1）求索道
的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在
处互相等待的时间不超过
分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？



3、（2012年江苏高考）在
中，已知
．

（1）求证：
；

（2）若
求A的值．

4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(，－2)．

（1）求φ的值；

（2）若f()＝，－＜α＜0，求sin(2α－)的值．

5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知在△ABC中，
．

（1）若
，求
；

（2）若
，求
的值．

6、（2015届江苏苏州高三9月调研）如图
在平面直角坐标系
中
点
均在单位圆上
已知点
在第一象限用横坐标是
点
在第二象限
点

（1）设
求
的值；

（2）若
为正三角形
求点
的坐标

7、（南京市2014届高三第三次模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋1＝．

（1）求B；

（2）若cos(C＋)＝，求sinA的值．

8、（南通市2014届高三第三次调研）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆

弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧

的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）

（1）设
（弧度），将绿化带总长度表示为
的函数
；

（2）试确定
的值，使得绿化带总长度最大．

9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足A = B ( 30°．

（1）若c = 1，
，求B．

（2）若
，求
的值．

10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交

于点A(x1 ，y1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．

（1）若x1＝，求x2；

（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及

△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．

参考答案

一、填空题

1\、
　　2、
　　3、
　　　4、　　　5、
　6、

7、　　8、
　9、30　10、1

二、解答题

1.（1）∵α∈（
，π），
=

∴
=

∴
=
+
=

（2）
=1
2
=
，
=2
=

=
+
=
+
（
）=

2、解：（1）∵
，

∴
∴
，

∴

根据
得

（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则

∴

∵
即

∴
时，即乙出发
分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。

（3）由正弦定理
得
（m）

乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C

设乙的步行速度为V
,则

∴
∴

∴为使两位游客在
处互相等待的时间不超过
分钟，乙步行的速度应控制在
范围内

法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，

设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，

AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，

知：AB＝52k＝1040m．

（2）设乙出发x分钟后到达点M，

此时甲到达N点，如图所示．

则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，

由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，

其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．

（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．

若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．

此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．

若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．

此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．

故乙步行的速度应控制在[，]范围内．



3、解：（1）∵
，∴
，即
。

由正弦定理，得
，∴
。

又∵
，∴
。∴
即
。

（2）∵
，∴
。∴
。

∴
，即
。∴
。

由 （1） ，得
，解得
。

∵
，∴
。∴
。

4、解：（1）因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(，－2)，

所以f()＝2sin(π＋φ)＝－2，

即sinφ＝1． …………………………………………… 4分

因为0＜φ＜2π，所以φ＝． …………………………………………… 6分

（2）由（1）得，f(x)＝2cos2x． ………………………………………… 8分

因为f()＝，所以cosα＝．

又因为－＜α＜0，所以sinα＝－． …………………………………… 10分

所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝－．…………………… 12分

从而sin(2α－)＝sin2αcos－cos2αsin＝． …………………… 14分

5．解:（1）由条件，得
．

． …………………………………………3分

化简，得
．

．……………………………………………………………………………6分

又
，
． ………………………………………………………………7分

（2）
，

．

化简，得
．…………………………………………………11分

又
，

．又

．……………………………………………………………………………14分

6、

7、解：(1)由＋1＝及正弦定理，得＋1＝，…………………………2分

所以＝，即＝，则＝．

因为在△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，

所以cosB＝． ………………………………………5分

因为B(0，π)，所以B＝． ………………………………………7分

（2）因为0＜C＜，所以＜C＋＜．

因为cos(C＋)＝，所以sin(C＋)＝． ……………………………10分

所以sinA＝sin(B＋C)＝sin(C＋)＝sin[(C＋)＋] ……………………………12分

＝sin(C＋)cos＋cos(C＋)sin

＝． ……………………………14分

8、【解】（1）如图，连接
，设圆心为
，连接
．

在直角三角形
中，
，
，

所以
．

由于
，所以弧
的长为
． ……………………3分

所以
，

即
，
． ……………………………7分

（2）
， ……………………………9分

令
，则
， ……………………………11分

列表如下：











+

0









极大值





所以，当
时，
取极大值，即为最大值． ……………………………13分

答：当
时，绿化带总长度最大． ……………………………14分

9、

10、解：（1）解法一：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．

所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分

所以x2＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－． …………………………………6分

解法二：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A(，)，则＝(，)，…………2分

＝(x2，y2)， 因为·＝||||cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分

又x22＋y22＝1，联立消去y2得50 x22－30x2－7＝0

解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6分

解法三：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝． 因此A(，)，所以tanα＝．………2分

所以tan(α＋)＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………4分

由得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－． …………………6分

（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分

因为α(，)，所以α＋(，)．

所以S2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分

因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分

所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－． 因为α(，