2. 已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的
，则其体积缩小到原来的
；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝
相切，

其中真命题的序号是(　　)．

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

3. 不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198



3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481



4．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 （ ）

A ．08 B．07 C．02 D．01

5. 已知向量
的夹角为
，且
，
，在ABC中，
，D为BC边的中点，则
（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知双曲线

的一条渐近线平行于直线
：
，双曲线的一个焦点在直线
上，则双曲线的方程为(　　)．

A．
B．
C．
D．

7. 在数列
中，若对任意的
均有
为定值，且
，则数列
的前100项的和
( )

A．132 B．299 C．68 D．99

8. 将
个正整数、、
、 、
（
）任意排成行列的数表．对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（
）的比值
,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当
时,数表的所有可能的“特征值”最大值为（ ）

A．
B． C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分．

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9．函数
的单调递增区间是_____________。

10. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为_____________。

11. 现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有_________ 。

12. 已知正数
满足
，则
的最小值为 _____________。

13. 已知变量
满足约束条件
，若
的最大值为
，则实数
．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为
，圆心为
，点的极坐标为
，则|
|=　_________　。

15．（几何证明选讲选做题）如右图，
为圆的内接三角形，
为圆的弦，且
∥
．过点做圆的切线与
的延长线交于点，
与
交于点．若
，则线段
的长为　_________　。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）设函数
的最小正周期为.

（1）求；

（2）若
，求
的值；

（3）画出函数
在区间
上的图像.

17．（本小题满分12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数（个）

2

3

4

5



加工的时间（小时）

2.5

3

4

4.5





（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

（2）求出关于的线性回归方程
，并在坐标系中画出回归直线；

（3）试预测加工
个零件需要多少时间？

18. （本小题满分14分）如图，直角梯形
中，
,
,平面
平面
,
为等边三角形，
分别是
的中点，
.

（1）证明：

；

（2）证明：
；

（3）若
,求几何体
的体积。

19. （本小题满分14分）设正数数列
为等比数列，
，记
.

（1）求
和
；

（2）证明: 对任意的

，有
成立.

20．（本小题满分14分）

焦点在轴的椭圆
，过
右顶点
的直线
与曲线
相切，交
于
二点．

（1）若
的离心率为
，求
的方程．

（2）求
取得最小值时
的方程．

21．（本小题满分14分）

设函数
，曲线
在点
处的切线为
.

（1）求
；

（2）证明：
.

2014~2015学年广州六中高三理数第二次测验参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

A

C

A

A

B

D



二、填空题：

（一）必做题（9～13题）

9．
10．
11．
12.
13.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．解：（1）
，
…… 2分

（2）由（1）知
, 由
得：
…… 4分

又∵
∴
…… 6分

∴
…… 7分

（3）由（1）知
，于是有

（1）列表

0





















－1

0

1

0






…… 10分

（2）描点，连线。函数

 ……12分

17．（1）散点图如下图．

……3分

18. 解：（1）证明：
为等边三角形，是
的中点
…… 1分

又平面
，
,

∴
…… 3分

又



…… 4分

（2）证明：取
中点G，连接

……6分

……8分

四边形
是平行四边形
…… 9分

又
平面
，
平面

平面
…… 10分

（3）解：依题，直角梯形
中

则直角梯形
的面积
…… 12分

由（1）
平面
，
是
的高

在等
中，由边长
,
…… 13分

故几何体
的体积
…… 14分

19. 解：（1）依题意可知
，又
，所以
，从而

……4分

（2）证明：①当
时，左边
，右边
，因为
，所以不等式成立． ……5分

②假设当
时，不等式成立，即
成立． ……7分

那么当
时，则

左边

右边 ……12分

所以当
时，不等式也成立.

由①、②可得对任意的

，都有
恒成立． ……14分

（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用
）

20． 解：（1）由
的离心率
得
……2分

……3分

（2）
与
方程联立消得

由
与
相切知
，由
知
……5分

与
方程联立消得
……① ……6分

设点

交
于
二点，
、是①的二根

，故
……8分

……10分

令
，则

令
，则
在
上恒成立

故
在
上单减 ……12分

故
即
，
时
取得最小值，则
取得最小值

此时
……14分

设函数
，则
，所以当
时，
，当
时，
，故
在
单调递增，在
单调递减，从而
在
上的最大值为
……13分

又
和
在
上取得最值的条件不同，所以综上：当
时，
，即
.

……14分