山西省忻州一中2015届高三第一次四校联考数学试题（文）

【满分150分，考试时间120分】

第Ⅰ卷 客观卷 共60分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）

1. 已知集合
，
，则

A. [1,2] B. [0,2] C. [-1,1] D. (0,2)

2. 若为虚数单位 ，则

A.
B.
C.
D.

3. 集合
，从集合
中各任意取一个数，则这两个数的和等于的

概率是

A.  B.  C.  D. 

4. 已知双曲线
的离心率为
，则此双曲线的渐近线方程为

A.y=±2x B. y=±x C. y=±x D. y=±x

5. 已知等差数列
的前
项之和为
，则

A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

6. 下列说法正确的是

A. 命题“x0∈R，x02＋x0＋1<0”的否定是：“ x∈R，x2＋x＋1>0”;

B. “x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分条件;

C. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2=1，则x≠1;

D. 命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题.

7. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，

输入的值为

A．2 B．

C．－2或－3 D．2或－3

8. 函数
的零点所在的一个区间是

A. (，) B. (，) C. (，1) D. (1，2)

9. 在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为，
为抛物线
上一点，若△
的外接圆与抛物线
的准线相切，且外接圆的面积为
，则

A. 2 B. 4 C.6 D. 8

10. 已知一个棱长为的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为

A.

B. 3

C. 4

D.

11. 已知函数
， 若对于任意
,不等式
恒成立，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

12. 在△
中，角、、
所对的边分别为、
、，且
边上的高为
，则
的最大值是

A. 8 B. 6 C.
D. 4

第Ⅱ卷 主观卷 共90分

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13. 若实数
满足
，则目标函数
的最大值是

14. 已知
是夹角为
的单位向量，向量
，若
，则实数


15. 三棱锥
的四个顶点均在同一球面上，其中△
为等边三角形，
，
,则该球的体积是

16. 已知函数
，将
的图像向左平移
个单位，再向上平移个单位，得到函数
的图象，若函数
在
上至少含有
个零点，则
的最小值为

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．（本小题满分12分）

在公差不为零的等差数列{
}中，
，
成等比数列.

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）设数列{
}的前项和为
，记
. 求数列
的前项和
.

18．（本小题满分12分）

如图五面体中，四边形
为矩形，
,四边形
为梯形,

且
,
.

（1）求证：

；

（2）求此五面体的体积.

19.（本小题满分12分）

患三高疾病

不患三高疾病

合计



男



6

30



女









合计

36







近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：

（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽
人，其中女性抽多少人？

（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，

请计算出统计量
，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





（参考公式
，其中
）

20．（本小题满分12分）

已知函数
，其中为常数，且
.

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求函数
的单调递减区间；

（2）若函数
在区间
上的最小值为
，求的值.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆
，离心率为
，两焦点分别为
、
，过
的直线交椭圆
于
两点，且△
的周长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
作圆
的切线
交椭圆
于
两点,求弦长
的最大值.

22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
，过点作圆
的切线交
的延长线于点，
的平分线分别交
和圆
为点,，

若
.

（1）求证：
;

（2）求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲

已知直线
：
（为参数，(为
的倾斜角），以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
.

（1）若直线
与曲线相切，求的值；

（2）设曲线上任意一点的直角坐标为
，求
的取值范围.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知正实数
满足：
.

（1）求
的最小值；

（2）设函数
，对于（1）中求得的，是否存在实数，使
成立，说明理由.

2015届高三年级第一次四校联考数学试题（文）答案

一、1-6.BACCBD 7-12. DCBABD

二、13.
14.
15.
16.

三、17.解：①设{
}的公差为，依题意得

，………3分

解得
，
…………………5分

∴
即
. …………………6分

②

………………9分

故 Tn=
. ……………………12分

18.解：（1）证明：连
，过
作
，垂足为
，

∵
，
，

∴
， ………………………2分

又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，
，

∴
，
=
，

∵
，
，……………… 4分

∵
，

………………………………… 6分

（2）连接CN，
, ……………… 8分

又
，所以平面
平面
，且平面

，
，
，

∴
， ……………………9分

…………………11分

此几何体的体积
……………………12分

19.（本题满分12分）解：（1）

患三高疾病

不患三高疾病

合计



男

24

6

30



女

12

18

30



合计

36

24

60



……………3分

在患三高疾病人群中抽
人，则抽取比例为

∴女性应该抽取
人. …………………6分

（2）∵
……………8分

， ……………10分

那么，我们有
的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．……………12分

20．解：
(
) …………………2分

（1）因为曲线
在点（1，
）处的切线与直线
垂直，，

所以
，即
解得
……………………4分

当
时，
，
。

令
，解得
所以函数的递减区间为：
………………6分

(2)当
时，
在（1，3）上恒成立，这时
在[1，3]上为增函数

令
，得
（舍去） ………7分

当
时，由
得，

对于
有

在
上为减函数，

对于
有

在
上为增函数，

，令
，得
……………9分

当
时，
在（1，3）上恒成立，这时
在
上为减函数，

∴
. 令
得
（舍去）

综上，
……………………12分

21．解：（1）由题得：
，
，所以
，
。 …………3分

又