合肥八中2015届高三第二次段考

数学试题（理科）

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.角
是第( )象限

A.一 B.二 C.三 D.撕

2.已知集合
,若
且
,则

A.
B.
C.
D.

3.下列四个选项错误的是

A.命题“若
,则
”的逆否命题是“若
,则
”

B.若
为真命题,则
均为真命题

C.若命题
,则

D.“
”是“
”成立的充分而不必要条件

4.已知角
的终边上有一点
的坐标为
,则角
的最小正值为

A.
B.
C.
D.

5.设实数
满足
,且
,则
的值为

A.
B.10 C.20 D.100

6.已知函数
的最大值为4,最小值为0,且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为
,直线
是该函数图象的一条对称轴,则该函数的解析式是

A.
B.
C.
D.

7.
的值是

A.
B.2 C.
D.

8.设函数
是二次函数,
,若函数
的值域是
,则函数
的值域是

A.
B.
C.
D.

9.设函数
,若
为函数
的一个极值点,则下列图象不可能为
的图象的是

A B C D

10.设函数
,若实数
满足
,则

A.
B.
C.
D.

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案写在答题卷的相应位置上.

11.函数
的单调递减区间为

12.设扇形的周长为8cm,面积为4cm
,则该扇形的圆心角的弧度数为

13.已知
,则

14.利民厂某产品的年产量在100吨至300吨之间,年生产的总成本
(万元)与年生产量
(吨)之间的关系可近似第表示为
,则每吨的成本最低时的年产量为 吨

15.设函数
的定义域为
,若存在非零实数
使得对于任意实数
,有
且
,则称函数
为
上的“
高调函数”。给出下列三个命题: (1)函数
是
上的“1高调函数”; (2)函数
是
上的“
高调函数”; (3)若定义域为
的函数
为
上的“
高调函数”,那么实数
的取值范围是
.其中正确的命题是 (写出你认为正确的所有命题的序号)

三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.

16(本小题满分12分)

已知集合
,命题
;命题
.

(Ⅰ)若命题
为假命题,求实数
的取值范围;

(Ⅱ)若命题
为真命题,求实数
的取值范围.

17(本小题满分12分)

已知函数

(Ⅰ)当
时,求函数
的值域;

(Ⅱ)如果对任意的
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.

18(本小题满分12分)

设
的内角
所对的边长分别为
，且
．

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)若角
,
边上的中线
的长为
，求
的面积．

19(本小题满分13分)

已知函数
为实常数)

(Ⅰ)当
时,求曲线
在
处的切线方程;

(Ⅱ)当
时,讨论函数
在区间(0,1)上的单调性,并求出相应的单调区间.

20(本小题满分13分)

已知函数
.

(Ⅰ)将
写成
的形式,并求出该函数图象的对称中心;

(Ⅱ)在
中,角
所对的边分别为
,且满足
,求
的取值范围.

21(本小题满分13分)

已知函数
.

(Ⅰ)当
时,求函数
的单调区间;

(Ⅱ)若
,求证:
;

(Ⅲ)若
为函数
的图象上的两点,记
为直线
的斜率,若
,

为
的导函数,求证:
.

参考答案

一、

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

D

B

D

A

B

D

B

D

A





二、

11、
12. 2 13. 14. 200 15. ②③

三、

17.【答案】：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，

因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．故函数h(x)的值域为[0,2]．……………4分

(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得 (3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，

令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，

所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，

①当t＝0时，k∈R；

②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15恒成立，

因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，

所以4t＋－15的最小值为－3，即k的取值范围为(－∞，－3)．……………8分

18. 【答案】　(1)∵(2b－c)cos A＝acos C，

∴(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C.

即2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A.

∴2sin Bcos A＝sin B.

∵sin B≠0，∴cos A＝，

∵0

(2)由(1)知A＝B＝，所以AC＝BC，C＝，

设AC＝x，则MC＝x.又AM＝，

在△AMC中，由余弦定理得AC2＋MC2－2AC·MCcos C＝AM2，

即x2＋2－2x··cos 120°＝()2，解得x＝2，

故S△ABC＝x2sin ＝.…………………12分

19.【答案】(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－ln x，则f′(x)＝2x＋1－，(2分)

所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.

所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为：y－2＝2(x－1)，

即：y＝2x.(4分)

(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝
(1>x＞0)，

由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a，(5分)

①当0＜a＜时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1

由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，

所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是，

②当a＝时，f′(x)≥0，且仅当x＝时，f′(x)＝0，

所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．

③当＜a＜1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，

所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是，

④当a≥1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，

所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(12分)

20.【答案】

由
=0即

即对称中心的横坐标为
……………………6分

（Ⅱ）由已知b2=ac

即
的值域为
.

综上所述，
，
值域为
. ……………………13分