2015届高三理科数学模拟三

第Ⅰ卷

一、选择题：10个小题，每题5分，满分50分.

1．已知集合
,
为虚数单位,
,
则复数z=（　　）

A．-2i B
．2i C．-4i D．4i

2.
是直线
与直线
平行的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3.设首项为
,公比为
的等比数列
的前
项和为
,则（　　）

A．
B．
C．
D．

4. 在四边形ABCD中,
,
,则四边形的面积为（　　）

A．
B．
C．5 D．10

5． 执行如图所示的程序框图,如果输出
,那么判断框内应填入的条件（　　）

A．

B．

C．
D．

6.若
，则
的取值范围是( )

A.
B.

C.
D.

7. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )



A．
B．
C．
D．

8.若直线
与圆
相交于
两点，且
，则

的值是( )

A．
B．
C．
D．

9. 已知函数
,下列结论中错误的是

(A)
的图像关于
中心对称 (B)
的图像关于直线
对称

(C)
的最大值为
(D)
既奇函数,又是周期函数

10.定义在
上的奇函数
，当
时，
则函数

的所有零点之和为（ ）

A. 1-
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：5个小题，每题5分，满分25分.

11. 直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 ．

12.在区间
上,使得
成立的概率为 .

13. 将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成27个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为
,则
的均值为
．

14. 已知正三棱锥
中,侧面
、侧面
、侧面
两两互相垂直，且侧棱
，则正三棱锥
的外接球的表面积为 .

15.函数
的图像向右平移
个单位后,与函数
的图像重合,则
的减区间为 .

三、解答题：6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本题满分12分）

设
的内角
的对边分别为
,
.

(1)求

(2)若
,求
.

17.（本题满分12分）M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”.

（1·）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

（2）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望.

18.（本题满分12分）

如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA
面ABEF，且DA=1，AB//EF，
，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点。

（1）求证：PQ//平面BCE；

（2）求证：AM
平面ADF；

（3）求二面角A-DF-E的余弦值

19.（本题满分12分）在公差为
的等差数列
中,已知
,且
成等比数列.

(1)
求
; (2)若
,求

20.（本题满分13分）已知函数
.

（1）若
的极值点，求
在
上的最大值；

（2）若
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围；

（3）在（1）的条件下，是否存在实数
，使得函数
的图象与函数
的

图象恰有三个交点？若存在，请求出实数
的取值范围；若不存在，试说明理由.

21.（本题满分14分）

设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，在
轴负半轴上有一点
，满足
，且
.

(1)求椭圆
的离心率；

（2）若过
三点的圆与直线
相切，求椭圆
的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点
作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点，线段
的中垂线与
轴相交于
，求实数
的取值范围.

2015届高三理科数学模拟三参考答案

一、选择题：CADCB DCACA

二、填空题11.
12.
13.
14.
15.

三、解答题

16.解：（1）
…………2分

由余弦定理得
，所以
…………6分

（2）由（1）知
，所以

又因为
，所以
，解得
或
…………12分

17.解（1）用分层抽样的方法，每人被抽中的概率为
，

根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，

所以选中的“甲部门”人选有
人，“乙部门”人选有
人……3分

用事件
表示“至少有一名是甲部门的人被选中”，则它的对立事件
表示“没有甲部门的人被选中”，则

因此，至少有一名是甲部门的人被选中的概率为
…………5分

（2）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数
的取值分别是
,……6分

,
,

,

因此
的分布列如下：























所以
的期望为
…………12分

18.解：

19.解:(Ⅰ)由已知得

代入
化简得
…………2分

解得
或
…………4分

或
…………6分

(Ⅱ)由(1)知当
时,
, 记
的前
项和为
,

①当
时,
,
…………8分

②当
时,

…………10分

综上所述:
……12分

20.解：

（1）依题意
，即
得

,令
得

则当
时，
与
变化情况如下表：

1

（1，3）

3

（3，4）

4







—

0

+







—6

减

—18

增

—12



∴
在
上的最大值是
……………4分

（2）∵
在
上是增函数,
时,恒有
，

即
在
上恒成立.，即
在
上恒成立.

∴只需
即可. …………………………………6分

而当
时,
显然为增函数,

………8分

（3）函数
的图象与函数
的图象恰有3个交点，

即方程
恰有3个不等实根……9分

∴
∴
是其中一个根，……………10分

∴方程
有两个非零不等实根.∴

∴
∴存在满足条件的
值，
的取值范围是
…13分

21. 解：(1)连接
，因为
，
，所以

,即
,故椭圆的离心率为
； ……………2分

(2)由（1）知
，得
，
，

的外接圆圆心为
，半径
，

因为过
三点的圆与直线
相切，

所以
，解得：
，
.

所以所求椭圆方程为：
. ……………6分

（3）由（2）知
，设直线
的方程为：

由
得：
.

因为直线
过
点，所以
恒成立.

设
，由韦达定理得：
，……8分

所以
. 故
中点为
. ……10分

当
时，
为长轴，中点为原点，则
； ……………11分

当
时，
中垂线方程为