2015届高三模拟考试数学试题（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共
分）

选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.每小题5分，共50分）.

已知集合
，
,全集
,则
（ )

A.
B.
C.
D.

2、已知复数
，则复数
在复平面内对应的点位于 （ ）

A.第一像限 B.第二像限 C.第三像限 D.第四像限

3. 已知数列
满足
，则
（ )

A.56 B.55 C.54 D.53

4、以下判断正确的是 （ ）

A.函数
为
上的可导函数，则
是
为函数
极值点的充要条件.

B．命题“
”的否定是“
”.

C.命题“在
中，若
”的逆命题为假命题.

D. “
”是“函数
是偶函数”的充要条件.

5、如右所示程序框图的输出结果为 （ ）

A.
B.

C.
D.

>2013

一艘海轮从A处出发，以每小时40海里

的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟

后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A

处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处

观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C

两点间的距离是 （ ）

A．
海里 B．
海里 C．
海里 D．
海里

如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为
的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中

木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的

概率是 （ ）

A．
B．

C．
D．与a的值有关联

8、函数
的图像大致为 （ )

9、定义在R上的奇函数
满足
，且不等式
在
上恒成立，则函数
=
的零点的个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

设
是双曲线
上关于原点O对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线
折成直二面角，则折叠后线段
长的最小值为 （ ）

A.
B.
C.
D.4

填空题（每小题共5小题，每题5分，共25分）.

11、随机变量
服从正态分布
，已知
＜
)＝0.3，则
＜
__________.

12、八个一样的小球排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，3个涂白色.若涂红色的小球恰好有三个连续，则不同涂法共有______________.

13、已知
满足
，则
的最大值是
，则
______________.

14、已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为______________.

15、定义：
表示
中的最小值．若定义

，对于任意的
，均有
成立，则常数
的取值范围是______________.

解答题（本小题共6小题，共75分）.

16、（本小题满分12分）

已知函数

的图像经过点
．

（1）求
的值；

（2）在
中，
、
、
所对的边分别为
、
、
，若
，且
．求
．

17、（本小题满分12分）

某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天
名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：

若网购金额超过
千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过
千元的顾客定

义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为
．

（1）试确定
，
，
，
的值，并补全频率分布直方图（如图(2)）．

（2）该营销部门为了进一步了解这
名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购

达人”中用分层抽样的方法确定
人，若需从这
人中随机选取
人进行问卷调查．设
为选取的
人中“网购达人”的人数，求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

如图所示，平面

平面
，且四边形
为矩形，四边形
为直角梯形，
，
，
，
．

（1）求证

平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值；

（3）求直线
与平面
所成角的余弦值．

19.（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，且满足
．

（1）求
、
的值；

（2）求
；

（3）设
，数列
的前
项和为
，求证：
．

20.（本小题满分13分）

如图，直线
，抛物线
，已知点
在抛

物线
上，且抛物线
上的点到直线
的距离的最小值为
．

（1）求直线
及抛物线
的方程；

（2）过点
的任一直线（不经过点
）与抛物线
交于
、
两点，直线
与直线
相交于点
，记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
．问：是否存在实数
，使得
？若存在，试求出
的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）求
在
上的最大值；

（2）若直线
为曲线
的切线，求实数
的值；

（3）当
时，设
，且
，若不等式
恒成立，求实数
的最小值．

2015届高三模拟考试数学试题（理科）答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

 A

B

D

C

A

C

 D

C

D





、
12、
13、
14、
15、

16、（1）由题意可得
，即
． ……………………………2分

，
，
，
． ………………………5分

（2）
，
， ………………………7分

． ……………………………8分

由（1）知
，
．

，
， ……………………………10分

又
，

．……………12分

17、解：（1）根据题意，有

解得
…………………2分

，
．

补全频率分布直方图如图所示． ………4分

（2）用分层抽样的方法，从中选取
人，则

其中“网购达人”有
人，“非网购达人”有
人． …………………6分

故
的可能取值为
，

，
，

，
．…………………………10分

所以
的分布列为：
























． ……………………12分

18、（法一）（1）取
中点为
，连接
、
，

且
，

，则
且
． …………1分

四边形
为矩形，
且
，

且
，



，则
．

平面
，
平面
，
平面
． ………………3分

（2）过点
作
的平行线交
的延长线于
，

连接
、
、
，

，

，
，
，
四点共面．

四边形
为直角梯形，四边形
为矩形，

，
，又

，

平面
，

，

又
平面

平面
，

为平面
与平面
所成锐二面角的平面角．……………………5分

，

．

即平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
． ……………………7分

（3）过点
作
于
，连接
，

根据（2）知
，
，
，
四点共面，
，

，
，

又

，
平面
，

，则
．

又

，
平面
．

直线
与平面
所成角为
． ……………………………9分

，
，

，
，
，

．

即直线
与平面
所成角的余弦值为
． ……………………………12分

（法二）（1）
四边形
为直角梯形，四边形
为矩形，

，
，

又
平面

平面
，且

平面

平面
，

平面
．

以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，

所在直线为
轴建立如图所示空间直角坐标系．

根据题意我们可得以下点的坐标：

，
，
，
，
，
，

则
，
． ………………1分

，
，
为平面
的一个法向量．

又
，

平面
． …………………………………………………………3分

（2）设平面
的一个法向量为
，则

，
，

， 取
，得
． ……………………………4分

平面
，

平面
一个法向量为
，

设平面
与平面
所成锐二面角的大小为
，

则
．

因此，平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
． …………………7分

（3）根据（2）知平面
一个法向量为
，

，
， …………11分

设直线
与平面
所成角为
，则
．

因此，直线
与平面
所成角的余弦值为
． ………………………12分

19、（1）当
时，有
，解得
．

当
时，有
，解得
． ………………1分

（2）（法一）当
时，有
, ……………①

． ………………②

①—②得：
，即：
． …………3分

．

． ………………………………………6分

另解：
．

又
当
时，有
，

． …………………………6分

（法二）根据
，
，猜想：
． ………………………………1分

用数学归纳法证明如下：

（Ⅰ）当
时，有
，猜想成立．

（Ⅱ）假设当
时，猜想也成立，即：
．

那么当
时，有
，

即：
，………………………①

又
， …………………………②

①-②得：
，

解得
．

当
时，猜想也成立．

因此，由数学归纳法证得
成立． ………………………………………6分

（3）

， ……………………………8分

． ………………………………………12分

20、（1）（法一）
点
在抛物线
上，
． ……………………1分

设与直线
平行且与抛物线
相切的直线
方程为
，

由
得
，
，

由
，得
，则直线
方程为
．

两直线
、
间的距离即为抛物线
上的点到直线
的最短距离，

有
，解得
或
（舍去）．

直线
的方程为
，抛物线
的方程为
． …………………………5分

（法二）
点
在抛物线
上，
，抛物线
的方程为
．……1分

设
为抛物线
上的任意一点，点
到直线
的距离为
，根据图象，有
，
，

，
的最小值为
，由
，解得
．

因此，直线
的方程为
，抛物线
的方程为
． …………………5分

（2）
直线
的斜率存在，
设直线
的方程为
，即
，

由
得
，

设点
、
的坐标分别为
、
，则
，
，

，
， …………………………8分
. …9分

由
得
，
，

， ……………………………………………12分

．

因此，存在实数
，使得
成立，且
． …………………………13分

21、（1）
， …………………………2分

令
，解得
（负值舍去），

由
，解得
．

（ⅰ）当
时，由
，得
，

在
上的最大值为
． …………………………………3分

（ⅱ）当
时，由
，得
，

在
上的最大值为
． ……………………………………4分

（ⅲ）当
时，
在
时，
，在
时，
，

在
上的最大值为
． …………………………………5分

（2）设切点为
，则
………………………………6分

由
，有
，化简得
，

即
或
， ……………………………①

由
，有
，……………②

由①、②解得
或
． ……………………………………………9分

（3）当
时，
，

由（2）的结论直线
为曲线
的切线，

，
点
在直线
上，

根据图像分析，曲线
在直线
下方． …………………………10分

下面给出证明：当
时，
．

，

当
时，
，即
． ………………………12分

，

，
．

要使不等式
恒成立，必须
． ……………13分

又
当
时，满足条件
，

且
，

因此，
的最小值为
． …………………………………………………14分