2015届高三模拟考试数学试题（理科）

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数z满足
，则复数

A．1+3i B． l-3i C．3+ i D．3-i

2．下列命题中的假命题是

（A）
（B）

（C）
（D）

3．“a = -1”是“直线a2x- y+l = 0与直线x-ay-2 = 0互相垂直”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

4．函数
的零点个数是

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

5．在
的二项展开式中常数项是

（A） -120 （B） -60 （C） 120 （D） 60

6．函数
的图象大致是

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

8．定义行列式运算
的图象向右平移
个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值为

A.
B.
C.
D.

9．已知双曲线
的顶点恰好是椭圆
的两个顶点，且焦距是
，则此双曲线的渐近线方程是

（A）
（B）
（C）
（D）

10．.若
所在的平面内的点，且
.给出下列说法：

①
；

②
的最小值一定是
；

③点A、
在一条直线上；

④向量
的方向上的投影必相等.

其中正确的个数是

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．

11．程序框图如图所示：

如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入 ．

12．八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有________种(填数字) ．

13．过抛物线
的焦点且倾斜角为60°的直线被圆
截得的弦长是 ．

14．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球直径为
，底面边长AB=1，则侧棱BB1与平面AB1C所成角的正切值为 ．

15.已知函数
若
恒成立，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量

（I）求函数f (x)的单调增区间；

（Ⅱ）已知锐角△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c．其面积
，

，a =3，求b+c的值．

17．（本小题满分12分）

如图，在几何体ABC-A1B1C1中，点A1,B1,C1在平面ABC内的正投影分别为A,B,C，且AB⊥BC,AAl =BB1 =4,AB=BC=CCl =2，E为AB1中点．

（I）求证：CE∥平面A1B1C1；

（Ⅱ）求二面角B1—ACl—C的大小．

18．（本小题满分12分）

已知各项均不为零的数列
，其前n项和Sn满足
；等差数列
中bl=4，

且b2 -1是b1 -1与b4-1的等比中项．

（I）求an和bn；

（Ⅱ）记
，求
的前n项和Tn．

19．（本小题满分12分）

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为
，分别有五个级别：
畅通；
基本畅通；
轻度拥堵；
中度拥堵；
严重拥堵．

晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：

（I）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？

（Ⅱ）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为
,P是椭圆上一点，且△P F1F2面积的最大值等于2．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

21、已知函数
，函数
的导函数
，且
，其中
为自然对数的底数．

（Ⅰ）求
的极值；

（Ⅱ）若
，使得不等式
成立，试求实数
的取值范围；

（Ⅲ） 当
时，对于
，求证：
．

2015届高三模拟考试数学试题（理科答案）

一、选择题（每小题5分，共50分）

BBACD ABCCB

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．K＜10? 12.24 13．
14．
15.

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

解：（I）

…………………………………………2分

………………………………………………4分

……………………………………5分

………………………………6分

（Ⅱ）

………………………………8分

由余弦定理得

…………………………………………………………………10分

…………………………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（I）由题知AA1⊥面A BC，BB1⊥面ABC，

………………………………………………1分

取A1B1中点F，连接EF，FC1，

E为AB1中点，
EF

A1A．

四边形EF C1C为平行四边形，

…………………………………………………………………………4分

……………………………………………………………………5分

（Ⅱ）由题知，

分别以BA,BC,BB1
所在直线为x轴、y轴、z轴．建立如图所示空间直角坐标系．

则

………………………………………………………7分

设平面ACC1法向量

则

令
=1，得

设平面A

法向量为

则

…………………………………………………………………………10分

由图知，二面角B1
A
－C是钝角，

二面角B1
A
－C大小为150°.………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（I）对于数列

{an}由题知
①

当n≥2时，
②

②两边相减得

……………………………………………………1分

即

…………………………………………………………2分

又
是以1为首项，以
为公比的等比数列，

,…………………………………………………………………………3分

设等差数列
的公差为d．由题知

……………………………………4分

又∵b1=4,b2=4+d,b4=4+3d,

解得d=0或d=3．

当d=0时，bn=4；当d=3时，bn =3n+1．……………………………………6分

（Ⅱ）当bn =4时,

……………………………………7分

当
时，

此时
③

④…………8分

－④得－

………………………………………………………………11分

综上，bn=4时，
………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（I）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是（0.1+0.2）×1×20=6个；……………2分中度拥堵的路段个数是（0.3+0.2）×1×20 =10个．…………………………………………4分（II）X的可能值为0,1,2,3．………………………………………………………………5分

则
………………………7分

…………………………9分

X的分布列为

………………………………………10分

…………12分

20．（本小题满分13分）

解：（I）因为点P在椭圆上．所以

因此，当
PF1F2面积最大，且最大值为

又离心率为
，即
…………………………………………………………2分

由
解得

所求椭圆方程为
…………………………………………………………4分

（II）假设直线
上存在点Q满足题意，设
．

显然，当
时．从Q点所引的两条切线不垂直,…………………………………6分

当
时，设过点Q向椭圆所引的切线l的斜率为k，

则l的方程为

由
消去y，整理得

…………………………………8分

所以
（*） ……………………………………………10分

设两切线的斜率分别为k1,k2，显然k1,k2是方程（*）的两根，故

解得
，点Q坐标为
或
…………………………12分

因此，直线y=2上存在两点
和
满足题意，…………………………13分

21．（本小题满分14分）

解：(Ⅰ) 函数
的定义域为
，

．

当
时，
，
在
上为增函数，
没有极值；……………1分

当
时，
，

若
时，
；若
时，

存在极大值，且当
时，

综上可知：当
时，
没有极值；当
时，
存在极大值，且当
时，
…………………………………………………………4分

(Ⅱ)
函数
的导函数
，

，

，
……………………………………5分

，使得不等式
成立，

，使得
成立，

令
，则问题可转化为：

对于
，
，由于
，

当
时，

，
，
，

，从而
在
上为减函数，

………………………………………………………………………………………9分

(Ⅲ)当
时，
，令
，则
，

，且
在
上为增函数

设
的根为
，则
，即

当
时，
，
在
上为减函数；当
时，
，
在
上为增函数，

，
，

由于
在
上为增函数，