一、选择题（共10小题，每小题5分）

1．设为虚数单位，复数满足
，则等于（　　）

（A）



（B）



（C）



（D）





2.设集合
，
，则
（ ）

（A）(1，4) （B）(3，4) （C）(1，3) （D）(1，2)

3．各项为正的等比数列
中，
与
的等比中项为
，则
（ ）

（A）4 （B）3

（C）2 （D）1

4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（　　）

（A）
（B）

（C）
（D）

5．若
，则“
”是“
”的（ ）条件

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．某几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个等边三角形,

则这个几何体的体积为（ )

（A）
（B）

（C）
（D）

7．已知实数
满足
且
仅在点(1，0)处取得最小值，则的取值范围是（ ）

（A）(－1，2) （B）(－2，4)

（C）(－4，0] （D）(－4，2)

8.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（　）种

（A）24 （B）48 （C）96 （D）144

9．已知
是双曲线


的左、右焦点，过
的直线与
的左、右两支分别交于
两点．若
，则双曲线的离心率为（ ）

（A）
（B）
（C）2 （D）

10.定义域为
的函数
图像的两个端点为、，
是
图象上任意一点，其中
，
，已知向量
（
为坐标原点）.若不等式
恒成立，则称函数
在
上“
阶线性近似” .已知函数
在
上“
阶线性近似”，则实数
的取值范围为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题（共5小题，每小题5分）

11.若在
的展开式中，第4项是常数项，则＝　　　　

12．随机变量
，若
，则
______________

13.已知
，且
，则
与
夹角的取值范围是　　

14．在直角坐标平面内，以坐标原点
为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点
的极坐标为(4
，
)，曲线
的参数方程为
(为参数)，则过点
与曲线
相切的直线方程为 ．

15.设函数
,给出下列四个命题：

①当
时，
为上的增函数；

②当
时，方程
只有一个实数根；

③函数
的图象关于点
对称；

④当
时，函数
，则
的最小值是
；

其中正确的命题序号是________（写出所有正确的命题序号）

田家炳实验中学2015届高三第一次月考

理科数学测试卷

一、选择题：(共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题：(每小题5分，满分25分)

11、 12、 13、

14、 15、

三、解答题（共6小题，共75分，解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（本小题满分12分）已知函数

(Ⅰ)求
的最小正周期与单调递减区间；

(Ⅱ)在
中，
分别是角
的对边，若
，求
的最大值．

17. （本小题满分12分）乒乓球赛规定:一局比赛,双方比分在
平前,一方连续发球次后,对方再连续发球次,依次轮换,每次发球,胜方得分,负方得
分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得分的概率为
,各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中,甲先发球.

(Ⅰ)求开始第次发球时,甲、乙的比分为比的概率;

(Ⅱ)
表示开始第次发球时乙的得分,求
的分布列与数学期望.

18. （本小题满分12分）如图，
是边长为
的正方形，
平面
，
，
，
与平面
所成的角
.

(Ⅰ)求二面角
的余弦值；

(Ⅱ)设点
是线段
上一动点，试确定
的位置，使得
平面
，并证明你的结论.

19. （本小题满分13分）已知为抛物线
：

的图像上位于第一象限内的一点，为抛物线
的焦点，
为坐标原点，过
、、三点的圆的圆心为
，点
到抛物线的准线的距离为
.

（Ⅰ）求抛物线
的方程;

（Ⅱ）过点
作轴的垂线
，
、为
上的两点，满足
，过
及分别作
的垂线与抛物线
分别相交于与，直线
与轴的交点为
，求证：
是定点，并求出该点的坐标.

20．（本小题满分13分）已知函数
在
处有极大值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线
相切，求
的取值范围；

（Ⅲ）当
时，函数
的图象在抛物线
的下方，求
的取值范围．

21. （本小题满分13分）已知数列
满足

，
(
).

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）若数列
满足
(
),证明:
是等差数列;

（Ⅲ）证明:
(
).

田家炳实验中学2015届高三第一次月考

理科数学参考答案及评分标

解答题

16.解：（Ⅰ）

……………3分

∴
的最小正周期
……………4分

由
得

∴
的单调递增区间为
……………6分

（Ⅱ）由
得
，

∵
∴
∴
,
……………8分

法一：又
，

∴当
时，
最大为
……………12分

法二：
即

；当且仅当
时等号成立。 …………12分

17. 解:记
为事件“第次发球,甲胜”,
,

则
，

（1）“开始第次发球时,甲、乙的比分为比”为事件

，其概率为

即开始第次发球时,甲、乙的比分为比的概率为
……………5分

（2）由题意
.

……………………10分

所以
……………12分

18.解：(1)证明：因为DE⊥平面ABCD， 所以DE⊥AC.

因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE.

因为DA，DC，DE两两垂直，

所以建立空间直角坐标系D－xyz如图所示．

因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，

所以＝.因为正方形ABCD的边长为3，所以BD＝3，

所以DE＝3，AF＝.则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0，3,0)，

所以
＝(0，－3，)，
＝(3,0，－2)，设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，

则即令z＝，则n＝(4,2，)．

因为AC⊥平面BDE，所以
为平面 BDE的一个法向量，
＝(3，－3,0)，

所以cos〈n，
〉＝＝＝.

因为二面角为锐角，所以二面角F－BE－D的余弦值为. ……………7分

(2)点M是线段BD上一个动点，设M(t，t,0)．

则
＝(t－3，t, 0)，因为AM∥平面BEF，\所以
·n＝0，即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.此时，点M坐标为(2,2,0)，BM＝BD，符合题意。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

19.解：（Ⅰ）由题意可得：点
的横坐标为
，则

所以抛物线
的方程为

（Ⅱ）设

所以

由题意

当

直线
方程为

即
综上过定点
.

当
时，函数在
处取得极小值，舍去；

当
时，
，函数在
处取得极大值，符合题意，∴
．（3分）

（Ⅱ）
，设切点为
，则切线斜率为
，

切线方程为
，

即
，

∴
．

令
，则
，

由
得，
．

函数
的单调性如下：





























↗

极大值

↘

极小值

↗





∴当
时，方程
有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线
相切．（8分）

（Ⅲ）∵当
时，函数
的图象在抛物线
的下方，∴
在
时恒成立，

即
在
时恒成立，令
，则
，由
得，
．

∵
，
，
，
，

∴
在
上的