益阳市箴言中学2015届高三第一次模拟考试

理科数学

（考试时间120分钟 满分150分） 命题：蔡志勇

第I卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）

1．已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．设
，则“
”是“
”成立的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

3．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）

（A）
是偶函数 （B）
在
上是增函数

（C）
是周期函数 （D）
的值域为

4．已知函数
，
. 若方程
有两个不相等的实根，

则实数
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5．已知向量
的夹角为
，且
，
，则
（ ）

（A）
（B） （C）
（D）

6．已知数列
为等比数列，
是它的前项和。若
，且
与
的等差中项为
则
（ ）

A．35　　　　Ｂ．33　　　 Ｃ．31　 　Ｄ．29

7．已知
，椭圆
的方程为
，双曲线
的方程为
，
与
的离心率之积为
，则
的渐近线方程为( )

A .
B.
C.
D.

8.已知
是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设
，
，
，则
的大小关系是(　　)

A.
B.
C.
D.

9．下列四个图中，函数y=
的图象可能是( )

10. 某同学在研究函数
＝
＋
的性质时，受到两点间距离公式的启发，将
变形为
＝
＋
，则
表示
（如图），

①
的图象是中心对称图形；

②
的图象是轴对称图形；

③函数
的值域为[
，＋∞）；

④方程
有两个解．上述关于函数
的描述正确的是（ ）

A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④

第II卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．下列结论：

①若命题
命题
则命题
是假命题；

②已知直线
则
的充要条件是
；

③命题“若
则
”的逆否命题为：“若
则
”

其中正确结论的序号是
（把你认为正确结论的序号都填上）

12．已知函数
，则不等式
的解集为 .

13．在
中，内角
所对的边分别是
. 已知
，
，则
的值为 .

14．已知菱形
的边长为，
，点
分别在边
上，

，
. 若
，则
的值为 .

15．若集合
，且下列四个关系：

①
； ②
； ③
； ④
.

有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组
的个数是 .

三、解答题 （本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

16. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝2cos.

(1)求f(x)的值域和最小正周期；

(2)若对任意x∈，使得m[f(x)＋]＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围.

17．（本小题满分12分）如图，
中，
两点分别是线段
的中点，现将
沿
折成直二面角
。

(1) 求证：
； (2) 求直线
与平面
所成角的正切值。

18. （本小题满分12分）已知二次函数
有两个零点
和
，且
最小值是
，函数
与
的图象关于原点对称.

(1)求
和
的解析式；

(2)若
在区间[－1,1]上是增函数，求实数
的取值范围．

19．（本小题13分）某花店每天以每枝
元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝
元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进
枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，
）的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了
天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量

















频数



















① 假设花店在这
天内每天购进
枝玫瑰花，求这
天的日利润（单位：元）的平均数；

② 若花店一天购进
枝玫瑰花，以
天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润
（单位：元）的分布列与数学期望.

20．（本小题满分13分） 已知点（0，-2），椭圆：
的离心率为
，是椭圆的焦点，直线
的斜率为
，为坐标原点.

(1) 求的方程；

(2) 设过点的直线与相交于
两点，当
的面积最大时，求
的方程.

21. （本小题满分13分）已知函数
（
为常数，
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的单调区间；

（Ⅲ）设
,其中
为
的导函数.

证明：对任意
.

益阳市箴言中学2015届高三第一次模拟考试

理科数学答案

1-5：ACDBD 6-10：CABCC

11.(1)(3); 12(-1，-1/3); 13.-1/4; 14.2; 15.6

16.已知函数f(x)＝2cos.

(1)求f(x)的值域和最小正周期；

(2)若对任意x∈，使得m[f(x)＋]＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围.

[解答] (1)f(x)＝2sincos－2cos2

＝sin－

＝sin－cos－

＝2sin－.

∵－1≤sin≤1.

∴－2－≤2sin－≤2－，T＝＝π，

即f(x)的值域为[－2－，2－]，最小正周期为π.

(2)当x∈时，2x＋∈，

故sin∈，

此时f(x)＋＝2sin∈[，2].

由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋＝－，

即≤－≤2，

即解得－≤m≤－1.即实数m的取值范围是.

17. 解：(Ⅰ) 由
两点分别是线段
的中点，

得
，

为二面角
平面角，
。

又

……………7分

(Ⅱ) 连结BE交CD于H，连结AH

过点D作
于O。

，

所以
为
与平面
所成角。

中，
，

中，
.

所以直线
与平面
所成角的正切值为
。 ……………13分

18 (1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0).

f(x)图象的对称轴是x＝－1，

∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1.

∴f(x)＝x2＋2x.

由函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，

∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.

(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.

①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；

②当λ<－1时，h(x)图象的对称轴是x＝，

则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；

③当λ>－1时，同理则需≤－1，

又λ>－1，解得－1<λ≤0.

综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0].

19解：（Ⅰ）
，
.