2014学年第一学期温州八校高三返校联考

理科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知函数
的定义域为
,
的定义域为
,则
= （　　）

A．
B．
C．
D．

2.若“
”是“
”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是 （　　）

A．
B．
C．
D．

3.如图，三棱锥
的底面为正三角形，侧面
与底面垂直且
，已知其正视图的面积为
，则其侧视图的面积为(　 　)

A．
B．
C．
D．

4.为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

5.已知数列
是等差数列，若
，
，且数列
的前项和
有最大值，那么
取得最小正值时等于（　　）

A．20 B．17 C．19 D．21

6.若关于的不等式
在区间
上有解,则实数的取值范围为（　　）

A．
B．
C．(1,+∞) D．

7.设
，若函数
为单调递增函数，且对任意实数x，都有
（是自然对数的底数），则
的值等于( )

A. 1 B．
C．3 D．

8.已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆
与
的延长线、
的延长线以及线段
相切，若
为其中一个切点，则 (　　)

A．
B．

C．
D．与2的大小关系不确定

9.在正方体
中，是棱
的中点，是侧面
内的动点，且
平面
，则
与平面
所成角的正切值构成的集合是 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．定义
为两个向量
，
间的“距离”，若向量
，
满足：①
；②
；③对任意的
，恒有
，则（ ）

A．（A）
B．（B）
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11.设sin
，则
___________.

12.已知实数
满足
，且目标函数
的最大值为6，最小值为1（其中
），则
的值为_____________.

13.已知数列
，
满足
，
，
（
），则
___.

14.已知
是定义在上且周期为
的函数,当
时，
.若函数
在区间
上有
个零点(互不相同)，则实数的取值范围是_________.

15.已知点是双曲线
(
,
)的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若
是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________．

16.设
是
外接圆的圆心,
分别为角
对应的边,已知
,则
的范围是_________________.

17.一个直径
等于2的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点
,使

，
为半圆上的一个动点，
、
分别为在
、
上的射影。当三棱锥
的体积最大时，
与平面
所成角的正弦值是________________.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18.（本小题满分14分）设函数
直线
与函数
图像相邻两交点的距离为.（Ⅰ）求的值（II）在
中，角、、
所对的边分别是、
、，若点
是函数
图像的一个对称中心，且
,求
面积的最大值.

19．（本小题满分14分）如图，四棱锥
的底面
是正方形，侧棱
⊥底面
，
，是
的中点．

（I）证明：
//平面
；

（II）求二面角
的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱
上是否存在点，使
⊥平面
？

证明你的结论．

20．（本小题满分14分）已知数列
满足：
，数列
满足：
，
，数列
的前项和为
.

（Ⅰ）求证：数列
为等比数列；

（II）求证：数列
为递增数列；

（Ⅲ）若当且仅当
时，
取得最小值，求
的取值范围．

21．（本小题满分15分）已知二次函数
（
）.

（Ⅰ）当
时，函数
定义域和值域都是
，求
的值；

（Ⅱ）若函数
在区间
上与轴有两个不同的交点，求
的取值范围.

22．（本小题满分15分）已知椭圆

直线
与以原点为圆心，以椭圆
的短半轴为半径的圆相切，
为其左右焦点，为椭圆
上的任意一点，
的重心为
，内心为，且

．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知为椭圆
上的左顶点，直线
过右焦点
与椭圆
交于
两点，若
的斜率
满足
，求直线
的方程．

2014学年第一学期温州八校高三返校联考

理科数学试卷参考答案

1—10：AABACACADC

11—17：
；4；
；
；
；
；

18.解：（Ⅰ）

，………………4分

的最大值为
，
的最小正周期为
.………………7分

（Ⅱ）由（1）知


，…………8分

，
，
.……12分

故
，
面积的最大值为
.……14分

19.解：法一：（I）以为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

设
，则
，
，
，
…………2分

设
是平面BDE的一个法向量，

则由
，得

取
，得
． ………………4分

∵
，
…………5分

（II）由（Ⅰ）知
是平面BDE的一个法向量，又
是平面
的一个法向量． ………………7分

设二面角
的平面角为
，由图可知

∴
．

故二面角
的余弦值为
． ………………10分

（Ⅲ）∵

∴

假设棱
上存在点，使
⊥平面
，设
，

则
，

由
得
………………13分

∴

即在棱
上存在点，
，使得
⊥平面
． ………………14分

法二：（I）连接
，
交
于
，连接
．在
中，
为中位线，

,
//平面
．………………4分

（II）
⊥底面
, 平面
⊥底面
，
为交线,
⊥

平面
⊥平面
，
为交线,
=
，是
的中点
⊥

⊥平面
，
⊥

即为二面角
的平面角．

设
，在
中,

故二面角
的余弦值为
．………………9分

（Ⅲ）由（II）可知
⊥平面
，所以