高三上学期第一次月考数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）

1．设集合M＝{-1，0，1，2}，N＝{x｜
≤x}，则M∩N＝

A．N B．{-1，0，1} C．{0，1} D．M

2．已知i为虚数单位，若复数z＝1－i，则－
等于

A．
B．－

C．
D．－

3．下列函数中，值域为R的函数是

A．f（x）＝
B．f（x）＝lg(tanx)

C．f（x）＝
D．f（x）＝｜lnx｜

4．函数y＝sinx（x∈[－π，π]）图象与x轴围成的图形的面积

是

A．0 B．1

C．2 D．4

5．利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，

则打印的点落在坐标轴上的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

6．等比数列{
}中，已知a1＝2，a4＝16．若a3，a5分别为等差数列{
}的第3项和第5项，

则数列{
}的前7项和S7等于

A．160 B．140 C．320 D．280

7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为

A．
B．
C．
D．

8．函数f（x）＝sin（ωx＋）（x∈R）（ω＞0，｜｜＜
）的部分图象如图所示，若

x1，x2∈（－
，
），且f（x1）＝f（x2），（x1≠x2），则f（x1＋x2）＝

A．
B．

C．
D．1

9．设变量x，y满足约束条件
若目标函数z＝ax＋y在点（1，2）处取得最大

值，则a的取值范围为

A．（1，＋∞） B．（－∞，－1） C．（－1，1） D．[－1，1]

10．甲乙两人一起去游“世博会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是

A．
B．
C．
D．

11．等轴双曲线
（a＞0,b＞0）的右焦点为F（c，0），方程
的实根分别为
和
，则三边长分别为｜
｜，｜
｜，2的三角形中，长度为2的边的对角是 （ ）

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定

12．,则的最大值为（ ）

A．2 B．
C．
D．1

第Ⅱ卷（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰

直角三角形，则该三棱锥的体积为____________．

14．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同

的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1， 2

的卡片放入同一信封，则不同的方法总数为_________．

15．已知
当
取得最小值时，直线
与曲线

的交点个数为

16．已知（1＋x）＋
＋
＋…＋
＝
＋
＋
＋…＋
，且
＋
＋
＋…＋
＝126，则n的值为______________．

三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）

已知函数
的两条相邻对称轴间的距离大于等于
．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）在
中，角
所对的边依次为
，
当
时，求
的面积．

18．（本题满分12分）

如图，直棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的

中点，AA1＝AC＝CB＝
AB．

（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；

（Ⅱ）求二面角D－A1C－E的余弦值．

19．（本题满分12分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级

摸出红、蓝球个数

获奖金额



一等奖

3红1蓝

200元



二等奖

3红0蓝

50元



三等奖

2红1蓝

10元



其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望．

20．（本题满分12分）

如图，已知定点F（－1，0），N（1，0），以线段FN为对角线作周长是8的平行四边形MNEF．

（Ⅰ）求点E、M所在曲线C的方程；

（Ⅱ）过点N的直线l：x＝my＋1与曲线C交于P，Q两点，则△FPQ的内切圆的面积

是否存在最大值?若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理

由．

21．（本题满分12分）

已知函数f（x）＝ax－1－lnx （a∈R）．

（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数f（x）在x＝1处取得极值，对
（0，＋∞），f（x）≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分．

22．（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，

AB交PO于点C．

（Ⅰ）求证：PA＝PC；

（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP＝5，求BC的长度．

23．（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为
（t为参数），直线l的极坐标方程为2ρsin（
－θ）＝

（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C与直线l的交点为A、B两点，求△OAB（O为坐标原点）的面积．

24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数f（x）＝｜x＋3｜－｜x－1｜．

（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）若存在x0，使得f（x0）≥
成立，求a的取值范围．

河南省偃师高中2015届北院高三第一次月考

数学（理）试卷

选择题 CDBDB,BACDD,CA

填空题

13 , 14，18 15，2 16，6

17.解：（Ⅰ）

∴函数
的最小正周期
，由题意得：
，即

解得：
.……………………………………………………………………………（6分）

则
……………………………………………………………（12分）