河南省顶级名校2015届高三年级入学定位考试

理科数学试卷

（时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1、已知集合
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

2、 已知复数
，则的虚部是

（A）
（B）
（C）
（D）

3、某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶

图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为

（A）117 （B）118 （C） 118．5 （D）119．5

4、已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为

（A）
（B）
（C）
（D）

5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

6、在各项均为正数的等比数列
中，若
，数列
的前项积为
，若
，则的值为

（A）4 （B）5 （C） 6 （D） 7

7、设偶函数
（

的部分图象如图所示，
为等腰直角三角形，
，
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

8、执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填

（A）
（B）
（C）
（D）

9、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是

（A）54 （B）27 （C）18 （D） 9

（第8题图） （第9题图）

10、抛物线
的焦点为，点
在抛物线上，且
，弦
中点
在其准线上的射影为
，则
的最大值为

（A）
（B）
（C）
（D）

11、四面体
的四个顶点都在球
的表面上，
平面
，△
是边长为3的等边三角形.若
，则球
的表面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

12、 函数
在
上的最大值为2，则的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13、若点
满足线性约束条件


的取值范围是 ．

14、若
二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为 ．

15、设
是
的三边中垂线的交点,
分别为角
对应的边,已知
,则
的范围是___________．

16、已知有限集
.如果中元素
满足
，就称为“复活集”，给出下列结论：

①集合
是“复活集”；②
是“复活集”，则
；③
不可能是“复活集”；④若
，则“复活集”有且只有一个，且
.

其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）

三、解答题：本大题共6小题，共70 分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．

17、 (本小题满分12分）

在
中，角
对的边分别为
，已知
.

（Ⅰ）若
，求
的取值范围；

（Ⅱ）若
，求
面积的最大值.

18、（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，底面
为菱形，
，
是
的中点.

（Ⅰ）若
，求证：
；

（Ⅱ）若平面
，且
点
在线段
上，试确定点
的位置，使二面角
的大小为
，并求出
的值.

19、（本小题满分12分）

生产，两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标













元件

8

12

40

32

8



元件

7

18

40

29

6



（Ⅰ）试分别估计元件、元件为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下

（i）求生产5件元件所获得的利润不少于300元的概率；

（ii）记
为生产1件元件和1件元件所得的总利润，求随机变量
的分布列和期望．

20、(本小题满分12分）

椭圆
过点
，离心率为
，左、右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）当
的面积为
时，求直线的方程.

21、（本小题满分12分）

已知

（Ⅰ）当
时，若
在
上为减函数，
在
上是增函数，求
值；

（Ⅱ）对任意
恒成立，求的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

已知，在
中，是
上一点，
的外接圆交
于，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
平分
，且
，求
的长.

23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
，已知过点
的直线的参数方程为：
，直线与曲线
分别交于
．

（Ⅰ）写出曲线
和直线的普通方程；

（Ⅱ）若
成等比数列，求的值．

24、(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

(Ⅰ)解不等式:
；

(Ⅱ)当
时, 不等式
恒成立,求实数的取值范围.

答题卷

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案





























二、填空题

13.______________ 14.______________

15.________________ 16.______________

三、解答题

请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效



17．（12分）



18．（12分）



19．（12分）



20．（12分）



21．（12分）



选做题．（10分）





参考答案

一、选择题

1-5 ABBAA 6-12 BDCCA CD

二、填空题

13、
14、
15、
16、 ①③④

三、解答题

17、 解：（1）
………（ 2分）

.

………（ 6分）

（2）
……… （8分）

………（ 10分）

当且仅当
时,
的面积取到最大值为
. ……… （12分）

18、 解：（1）
，
为
的中点，
，

又底面
为菱形，
，
,

又

平面
，又
平面
,

平面
平面
;----------------6分

（2）平面
平面
,平面
平面
,

平面
.

以
为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系如图.

则
,

设
(
),

所以
，平面
的一个法向量是
，

设平面
的一个法向量为

，所以

取

，-----------------------------------------9分

由二面角
大小为
，可得：

，解得
，此时
--------------------------------12分

19、解：（I）由题可知元件为正品的概率为
，元件为正品的概率为
………（2分）

（II）（i）设生产的5件元件中正品数为，则有次品
件，由题意知,,
,解得
，设“生产的5件元件所获得的利润不少于300元”为事件
，

则
………（6分）

（ii）随机变量
的所有取值为150,90,30，-30

则

所以随机变量
的分布列为：

150

90

30

-30















所以，随机变量
的期望为：
……（12分）

20、解：（1）因为椭圆
过点
，所以
①，又因为离心率为
，所以
，所以
②，解①②得

所以椭圆的方程为：
……… （4分）

（2）①当直线的倾斜角为
时，

，不适合题意。……… （6分）

②当直线的倾斜角不为
时，设直线方程
，

代入
得：
……… （7分）

设
，则

，

所以直线方程为：
或
……… （12分）

21、解：（Ⅰ）当
时，

在