河南省顶级名校2015届高三年级入学定位考试

文科数学试卷

（时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1、已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、 已知复数
，则的虚部是（ ）

A．
B．
C．
D．

3、某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶

图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（ ）

A．117 B．118 C．118．5 D．119．5

4、已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

5、平面向量
与
的夹角为
，
，
，则
＝（ ）

A．
B．
C． 7 D． 3

6．下列有关命题的叙述， ①若
为真命题，则
为真命题；②“
”是“
”的充分不必要条件；③命题
，使得
，则
，使得
；④命题“若
，则
或
”的逆否命题为“若
或
，则
”。其中错误的个数为（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

7、在各项均为正数的等比数列
中，若
，数列
的前项积为
，若
，则的值为（ ）

A．4 B．5 C． 6 D． 7

8、设偶函数
（

的部分图象如图所示，
为等腰直角三角形，
，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
　 D．

9、执行如图中的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（ ）

A．
B．
C．
D．

10、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A．54 　 B．27 C．18 D． 9

（第9题图） （第10题图）

11、抛物线
的焦点为，点
在抛物线上，且
，弦
中点
在其准线上的射影为
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.己知函数
是偶函数，当
时，函数
单调递减，设
，则
的大小关系为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13、若点
满足线性约束条件


的取值范围是 ．

14、已知直线
（其中
为非零实数）与圆
相交于
两点，
为坐标原点，且
为直角三角形，则
的最小值为 。

15、设
是
的三边中垂线的交点,
分别为角
对应的边,已知
,则
的范围是___________．

16、已知有限集
．如果中元素
满足
，就称为“复活集”，给出下列结论：

①集合
是“复活集”；②
是“复活集”，则
；③
不可能是“复活集”；④若
，则“复活集”有且只有一个，且
．

其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）

三、解答题：本大题共6小题，共70 分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．

17、 (本小题满分12分）在
中，角
对的边分别为
，已知
．

（Ⅰ）若
，求
的取值范围；

（Ⅱ）若
，求
面积的最大值．

18、（本小题满分12分）如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,
．

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

19、（本小题满分12分）

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
，
，…，
后得到如图的频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中实数的值；

（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．

(Ⅲ)若从样本中数学成绩在
与
两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

20、(本小题满分12分）

椭圆
过点
，离心率为
，左、右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）当
的面积为
时，求直线的方程．

21、（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
在区间
上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）当
时，函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

已知，在
中，是
上一点，
的外接圆交
于，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
平分
，且
，求
的长．

23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
，已知过点
的直线的参数方程为：
，直线与曲线
分别交于
．

（Ⅰ）写出曲线
和直线的普通方程；

（Ⅱ）若
成等比数列，求的值．

24、(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

(Ⅰ)解不等式:
；

(Ⅱ)当
时, 不等式
恒成立,求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题 1-5 ABBAA 6-12 BBDCC AA

二、填空题13、
14、 4 15、
16、 ①③④

三、解答题

17、 解：（1）
………（ 2分）

.

………（ 6分）

（2）
……… （8分）

………（ 10分）

当且仅当
时,
的面积取到最大值为
. ……… （12分）

18、【答案】（I）设
线段的中点为

19。解：（I）由
，可得
。

20、解：（1）因为椭圆
过点
，所以
①，又因为离心率为
，所以
，所以
②，解①②得

所以椭圆的方程为：
……… （4分）

（2）①当直线的倾斜角为
时，

，不适合题意。……… （6分）

②当直线的倾斜角不为
时，设直线方程
，

代入
得：
……… （7分）

设
，则

，

所以直线方程为：
或
……… （12分）

21.

（Ⅱ）
，∵函数
在区间
上单调递减，

∴
在区间
上恒成立，即
在
上恒成立，

只需2a不大于
在
上的最小值即可． 6分

而

，则当
时，
，

∴
，即
，故实数a的取值范围是
． 8分

（Ⅲ）因
图象上的点在
所表示的平面区域内，即当
时，不等式
恒成立，即
恒成立，设
（
），只需
即可．

由

，

（ⅰ）当
时，
，当
时，
，函数
在
上单调递减，故
成立．

（ⅱ）当
时，由
，令
，得
或
，

①若
，即
时，在区间
上，
，函数
在
上单调递增，函数
在
上无最大值，不满足条件；

②若
，即
时，函数
在
上单调递减，在区间
上单调递增，同样
在
上无最大值，不满足条件．

（ⅲ）当
时，由
，因
，故
，则函数
在
上单调递减，故
成立．

综上所述，实数a的取值范围是
． 12分

22、解：（Ⅰ）连接
，∵四边形
是圆的内接四边形，

∴
，又
，∴
∽
，

∴
，

又
，∴
………………………(5分)

（Ⅱ）由（Ⅰ）
∽
，知
，又
，∴
，

∵
，∴
，而
是
的平分线∴
，

设
，根据割线定理得

即
，

解得