长春市2014—2015学年新高三起点调研考试

数学（理科）试题答案及评分参考

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. C 2. A 3. D 4. B 5. C 6. D

7. B 8. B 9. C 10. B 11. D 12. B

简答与提示：

【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.

【试题解析】C　由题可得
或
，则
，又当
时，集合出现重复元素，因此
或
. 故选C.

【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数模的概念，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.

【试题解析】A 由图可知：
，
，，则
. 故选A.

【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查.

【试题解析】D　由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项
单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值. 故选D.

【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.

【试题解析】B 由
，且
可知，
. 故选B.

【命题意图】本题考查了回归直线的特征，对解释变量的运算也有提及.

【试题解析】C　将
代入回归方程为
可得
，则
，解得
，即精确到0.1后的值为
. 故选C.

【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算.

【试题解析】D　如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，

即
. 故选D.

【命题意图】本题考查数列基本量的求法.

【试题解析】B　由题意，
，
，

作差可得
，即
. 故选B.

【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.

【试题解析】B　由题可知，
为奇函数，且
存在多个零点导致
存在多个零点，故
的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.

【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.

【试题解析】C　由程序框图可知，从
到
得到
，因此将输出
. 故选C.

【命题意图】本题考查指对幂三种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.

【试题解析】B　如右图可知，“
”
“
”，但“
”
“
”，即“
”是“
”的必要不充分条件. 故选B.

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.

【试题解析】D　由题可知，点的横坐标
时，满足
，此时
，故直线
（即直线
）的斜率的取值范围是
. 故选D.

【命题意图】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数等问题.

【试题解析】B　根据①可知
图像的对称中心为
，根据②可知
图像的对称轴为
，结合③画出
和
的部分图像，如图所示，据此可知
与
的图像在
上有6个交点. 故选B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.
14.
15.
16.

简答与提示：

【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识. 【试题解析】计算可得
.

【命题意图】本题考查二项展开式系数问题. 【试题解析】在
的展开式中，
项是
，故
的系数为
.

【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数
的几何意义为区域内点到原点距离的平方，故的取值范围是
.

【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题. 【试题解析】设三棱柱的高为
，由题意可得，正三棱柱的体积为
，求导可得当
时，
取得最大值为
.

三、解答题

(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力.

【试题解析】解：(1) 根据正弦定理

可化为

即
 整理得
，即
，
. （5分）

(2) 由△
的面积
，可知
，而

由余弦定理得
. （10分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.

【试题解析】解：(1) 当
时，
，解得

当
时，
，有
，

所以数列
是以2为首项，2为公比的等比数列，有
. （6分）

(2) 由（1）知
，有

①

①
，
②

①-②，得

整理得
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.

【试题解析】解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为

. （4分）

(2) 由题意知某两人可获得优惠金额
的可能取值为400，500，600，700，800，1000.

（8分）

综上可得
的分布列为：

400

500

600

700

800

1000





















（10分）

的数学期望
.

（12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间平面的垂直关系，以及二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】

(1) 证明：因为几何体是正方体
截取三棱锥
后所得，

.（6分）

(2) 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设
，

依题意知，
，

有

设平面
的一个法向量
，

有
代入得
，

设
，有
，平面
的一个法向量
，

设平面
与平面
所成锐二面角大小为，有
，

所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】解：(1) 设
，则根据椭圆性质得

而
，所以有
，即
，
，

因此椭圆的离心率为
. （4分）

(2) 由(1)可知
，
，椭圆的方程为
.

根据条件直线
的斜率一定存在且不为零，设直线
的方程为
，

并设
则由
消去并整理得

从而有
， （6分）

所以
.

因为
，所以
，
.

由
与
相似，所以

. （10分）

令
，则
，从而

，即
的取值范围是
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】解：(1)
（2分）

因为
是函数
的一个极值点，所以
，

即
.

而当
时，
，

可验证：
是函数
的一个极值点. 因此
. （4分）

(2) 当
时，

令
得
，解得
，而
.

所以当变化时，
、
的变化是









































极小值





极大值





因此
的单调增区间是
，
；

的单调减区间是
，
，
； （9分）

(3) 当取正实数时，
，

令
得
，

当
时，解得
.

在
和
上单调递增，在
上单调递减，

但是函数值恒大于零，极大值
，极小值
，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当
时，
，当
时，
. 因此当
时，关于的方程
一定总有三个实数根，结论成立；

当
时，
的单调增区间是
，无论取何值，方程
最多有一个实数根，结论不成立.

因此所求的取值范围是
. （12分）