长沙市周南中学2015届高三第一次月考试卷

数 学（理）

考试范围：集合、逻辑、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式(含选讲)

立体几何.

时量：120分钟 总分：150分 命题：曹干铁 审题：魏 忠

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．集合
若
,则
（　　　）

A．
B．
C．
D．

2．命题“
”的否定是（　　　）

A．
B．

C．
D．

3．已知
分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

且

＝( )

A．－3 B．－1

C．1 D．3

4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )

A．
B．
C．
D．

5．同时具有性质：“①最小正周期是
；②图象关于直线
对称；③在
上是增函数”的一个函数是（　　　）

A．
B．
　C．
D．

6．已知命题
:
是
成立的充分不必要条件；命题
:若不等式
对
恒成立，则
，在命题

①
②
③
④
中，真命题是（　　　）

A．②③ B．②④ C．①③ D．①④

7．若
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

8．不等式
≤0对于任意
及
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
≤
B．
≥
C．
≥
D．
≥

9．已知函数
是R上的可导函数，且
的图象是连续不断的，当
时，有
，则函数
的零点个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．在平面上，
，
,
.若
，则
的取值范围是（ ）

A．

B．
C．
D．

二．填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

11．已知
且
，则
.

12．如图，两块阴影部分的面积和为________．

13．若关于
的不等式
的解集为
，则
.

14.已知正实数
满足
，则
的最小值为 .

15．在当今的信息化社会中，信息安全显得尤为重要，为提高信息在传输中的安全性，通常

在原信息中按一定规则对信息加密，设定原信息为
，
（i=1，2，3…

n），传输当中原信息中的1都转换成01，原信息中的0都转换成10，定义这种数字的转换为

变换
，在多次的加密过程中，满足
，k=1，2，3，…．

（1）若A2：10010110，则A0为____ ；

（2）若A0为10，记
中连续两项都是l的数对个数为
，k=l，2，3，…，则
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）在
中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
．

（Ⅰ）求角
的大小；（Ⅱ）求
的取值范围．

17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
平面
，
平面
，
，
．

（Ⅰ）
求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小．

18.（本小题满分12分）已知正数数列
的前
项和
满足：
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
，求数列
的前
项和.

19．（本小题满分13分）如图，某自来水公司要在公路两侧安装排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线
安装排水管，在路南侧沿直线
安装排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将
与
接通．已知AB = 60m，BC = 60
m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为
．矩形区域内的排管费用为W．

（I）求W关于
的函数关系式；

（II）求W的最小值及相应的角
．

20．（本小题满分13分）已知
为正整数，（I）证明：当
时，
；

（II）对于
，已知
，求证：
.

21. （本小题满分13分）设函数
.

（I）讨论函数
的单调性；

（II）若
有两个极值点
；记过点

的直线斜率为
.问：是否存在
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

长沙市周南中学2015届高三第一次月考参考答案

1
．ABCAC ACDBD 11．
; 12．
; 13．
; 14.
;

15． 解：（1）由变换T的定义可知，若
：10010110，则
为 10；

（2）因为1转换成01，0转换成10，

所以10转换成0110；

故考虑
中10数对的个数，设
中10数对的个数为
，

而
中11数对只能由
中10数对变换得到，

所以
，
，

故考虑
中数对10的个数
，

而
中10数对可能由
中0得到，也可由
中的11得到，

根据变换T的定义以及
，

可得
中0和1的个数总相等，且有
个，

故
，
，

又由A0：10变换得到
：0110，
：10010110，

所以
，

当k为奇数时（k≥3，k∈N*），

叠加得
=
，k=1时也成立，

同理，当k为偶数数时（k≥4 ，k∈N*），

，k=2时也成立，

综上，可得
，k∈N*．故答案为：(1)10、(2)
，k∈N*．(第一空2分)

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）在
中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围．

解（Ⅰ）由余弦定理可得：
，即
，

∴
，由
得
．

（Ⅱ）由
得，
，

∴

．

∵
，　　∴
，

∴
，

∴
的取值范围为
．

17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
平面
，
平面
，
，
．

（Ⅰ）
求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小．

17．解(Ⅰ)证明：取BE的中点O，AE的中点F，连OC，OF，DF，则2OF
BA

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD
BA，

∴OF
CD，∴OC∥FD

∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

从而平面ADE⊥平面ABE.

(Ⅱ)二面角A—EB—D与二面角F—EB—D相等，

由(Ⅰ)知二面角F—EB—D的平面角为∠FOD。

BC=CE=2, ∠BCE=1200，OC⊥BE得BO=OE=
，OC=1，

∴OFDC为正方形，∴∠FOD=
，

∴二面角A—EB—D的大小为
．

解法2：取BE的中点O，连OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

以O为原点建立如图空间直角坐标系O－xyz，

则由已知条件有:
，
，

设平面ADE的法向量为
，

则由
·

及
·

可取

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取为
＝
.

∵
·


·
=0, ∴
⊥
，∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分

（Ⅱ）设平面BDE的法向量为
，

则由
·

及
·



可取

∵平面ABE的法向量可取为
＝

∴锐二面角A—EB—D的余弦值为
=
，

∴二面角A—EB—D的大小为
．

18.（本小题满分12分）已知正数数列
的前
项和
满足：
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
，求数列
的前
项和.

18.解：(I)当
时，
，所以
,;

又,

两式相减得：
，所以数列
是首项为1，公差为1的等差数列

故数列
的通项公式为
………………………………6分

（II）)由(1)可得
,记数列
的前
项和为
,则

记

故数列
的前
项和

………………………………12分

19．（本小题满分13分）如图，某自来水公司要在公路两侧安装排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线
安装排水管，在路南侧沿直线
安装排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将
与
接通．已知AB = 60m，BC = 60
m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为
．矩形区域内的排管费用为W．

（I）求W关于
的函数关系式；

（II）求W的最小值及相应的角
．

解：（I）如图，过E作
，垂足为M，由题意得
，

故有
，
，
，

所以W=
。 6分

（II）设
，

则
．

令
得
，即
，得
．

列表











+

0

-





单调递增

极大值

单调递减



所以当
时有
，此时有．

答：排管的最小费用为
万元，相应的角
． 13分

20．（本小题满分13分）已知
为正整数，（I）证明：当
时，
；

（II）对于
，已知
，求证：
.

20．（Ⅰ）解法1：证：用数学归纳法证明：

（ⅰ）当
时，原不等式成立；当
时，左边
，右边
，

因为
，所以左边
右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当
时，不等式成立，即
，则当
时，

，
，于是在不等式
两边同乘以
得

，

所以
．即当
时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数
，不等式都成立．………………………………6分

解法2：导数