长春市2014—2015学年新高三起点调研考试

数学（文科）试题答案及评分参考

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 6. D

7. B 8. B 9. C 10. C 11. A 12. D

简答与提示：

【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.

【试题解析】C　由题可得
或
才能满足集合的互异性. 故选C.

【命题意图】本题考查复数的除法运算，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.

【试题解析】D 由图可知：
，
，则
. 故选D.

【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查.

【试题解析】D　由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项
单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值. 故选D.

【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.

【试题解析】C 由
，且
可知，
. 故选C.

【命题意图】本题考查同角基本关系以及二倍角公式.

【试题解析】B　将
两边平方得，
，可得
，故选B.

【命题意图】本题通过三视图考查几何体体积的运算.

【试题解析】D 几何体体积=半球体积-圆锥体积=
，选D.

【命题意图】本题考查数列基本量的求法.

【试题解析】B　由题意，
，
，

作差可得
，即
. 故选B.

【命题意图】本题考查指对两种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.

【试题解析】B　如右图可知，“
”
“
”，而 “
”
“
”，因此“
”是“
”的必要不充分条件. 故选B.

【命题意图】本题考查圆的标准方程以及弦长的基本知识.

【试题解析】C由题意可设圆心为
，半径为，则有
或
，解得
，故选C.

【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.

【试题解析】C　由程序框图可知，从
到
得到
，因此将输出
. 故选C.

【命题意图】本题通过图像考查绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性.

【试题解析】A 由条件可知，该函数定义域为
，且
，所以该函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B、C，当
时，
，从而排除D. 故选A.

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.

【试题解析】D　由题可知，点的横坐标
时，满足
，此时
，故直线
（即直线
）的斜率的取值范围是
. 故选D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 1 14. 960 15.
16.

简答与提示：

【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数
的几何意义为过区域内点的直线
的截距大小，故的最小值是1.

【命题意图】本题考查用样本对总体的估计.

【试题解析】设鱼塘中大鱼数量的估计值为
，有
，从而估算出
=960.

【命题意图】本题考查三角函数奇偶性、两角和差公式和诱导公式运用. 【试题解析】由题意可知
为偶函数，所以
，根据
，有

【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体表面积问题. 【试题解析】底面正三角形外接圆的半径为
，圆心到底面的距离为
，从而其外接圆的半径
，则该球的表面积
.

三、解答题

(本小题满分10分)

【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法.

【试题解析】解：(1) 设等比数列的公比为，有
，

解得
，所以
； （5分）

(2) 由(1)知
，有
，

从而
. （10分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力.

【试题解析】解：(1) 根据正弦定理

可化为

即
 整理得
，即
，
. （6分）

(2) 由面积
，可知
，而
，

所以
，由
可得△
为等边三角形，所以
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过考查随机抽样，对学生的数据处理能力提出较高要求.

【试题解析】(1) 设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”，则
. （6分）

(2) 设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为
，从中选出两人的所有基本事件如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15个，其中使得事件成立的为
，
，
，
，共4个，则
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间直线与平面的垂直关系，简单几何体体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】解：

(1) 证明：因为几何体是正方体
截取三棱锥
后所得，

； （6分）

(2) 由题意知
，点
到
的距离为
，

则△
的面积为
，由(1)知
平面

所以
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】解：(1) 设
，则根据椭圆性质得

而
，所以有
，

即
，
，因此椭圆的离心率为
. （4分）

(2) 由(1)可知
，
，椭圆的方程为
.

根据条件直线
的斜率一定存在且不为零，设直线
的方程为
，

并设
则由
消去并整理得

从而有
， （6分）

.

因为
，所以
，
.

由
与
相似，所以

. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】(1)解：
（2分）

因为
是函数
的一个极值点，所以
，

即
.

而当
时，
，

可验证：
是函数
的一个极值点. 因此
. （4分）

(2) 当取正实数时，
，

令
得
，

当
时，解得
.

所以当变化时，
、
的变化是































极大值



极小值





所以
的单调递增区间为
，
，

单调减区间为
；

当
时，
恒成立，故
的单调增区间是
. （9分）

(3) 当
时，
的单调减区间是
，
，
.

（12分）