玉溪一中2015届高三上学期第一次月考试卷

理科数学

一．选择题(每小题5分，共60分)

1．设集合
，
，则
的子集的个数是（ A ）

A．4 B．3 C ．2 D．1

2．复数
的共轭复数为（B ）

A．
B．
C．
D．

3．下列说法正确的是（C ）

A．若命题
都是真命题，则命题“
”为真命题

B．命题“若
，则
或
”的否命题为“若
则
或
”

C．命题“
”的否定是“
”

D．“
”是“
”的必要不充分条件

4．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为
，则
的值为（B ）

A．
B．
C．
D．

5．已知函数
，且
，则实数
的取值范围是（A ）

A．
B．
C．
D．

6．若
，则向量
与
的夹角为（D ）

A．
B.
C.
D.

7．已知
，
，
，
，则 （ D ）

A．

B．
C．
D．

8．在正项等比数列
中，
，则
（D ）

A．
B．
C．
D．

9．右边程序运行后，输出的结果为 （C ）

A．

B．
C．
D．

10．设变量
满足
，若目标函数
的最小值为
，则
的值为（B ）

A．

B．
C．
D．

11．如图，四面体
中，
，
，平面
平面
，若四面体
的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ C ）

A．
B.
C.
D.

12．已知
分别是双曲线
的左、右焦点，以坐标原点
为圆心，
为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为
,则当
的面积等于
时，双曲线的离心率为 （ A ）

A.
B.
C.
D.2

二．填空题(每小题5分，共20分)

13．曲线
与直线
及
轴所围成的图形的面积是
．

14．设
为定义在
上的奇函数，当
时，
，则
－2 ．

15．已知
的展开式中
的系数为5，则
－1

16．数列
的通项公式
，其前
项和为
，则
= 3019 .

三．解答题(共70分，解答须写出解题过程和推演步骤)

17．（本题满分12分）

在△
中，角
的对边分别为
.已知
，
，且

(1) 求角
的大小； （2）求△
的面积.

17、(1) 解：∵A+B+C=180°由

∴
整理，得
…………4分

解 得：
……5分 ∵
∴C=60° ………………6分

（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab ∴

由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分
……10分

∴
…………12分

18. （本题满分12分）

在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设某4名考生选做每一道题的概率均为
.

（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；

（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为
，求
的概率分布列及数学期望.

18. （1）设事件
表示“甲选做第21题”，事件
表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“
”，且事件
、
相互独立.

∴
=
.

（2）随机变量
的可能取值为0,1,2,3,4，且
～
.

∴

∴变量
的分布列为：

0

1

2

3

4



















（或
）

19.（本题满分12分）

已知在四棱锥
中，底面
是矩形，

且
，
，
平面
，
、
分

别是线段
、
的中点．

（1）证明：

（2）在线段
上是否存在点
，使得
∥平面
，若存在，确定点
的位置；若不存在，说明理由.

（3）若
与平面
所成的角为
，求二面角
的余弦值

19、解：解法一：（Ⅰ）∵
平面
，
，
，
，建立如图所示的空间直角坐标系
，则
．…………2分

不妨令
∵
，
∴
，

即
．…………………………4分

（Ⅱ）设平面
的法向量为
，由
，得
，令
，解得：
．∴
． ……………6分

设
点坐标为

，
，则
，要使
∥平面
，只需
，即
，得
，从而满足
的点
即为所求．……………………………8分

（Ⅲ）∵
，∴
是平面
的法向量，易得
，……9分

又∵
平面
，∴
是
与平面
所成的角，

得
，
，平面
的法向量为
……10分

∴
，

故所求二面角
的余弦值为
．………12分

解法二：（Ⅰ）证明：连接
，则
，
，

又
，∴
，∴
……2分

又
，∴
，又
，

∴
……4分

（Ⅱ）过点
作
交
于点
，则
∥平面
，且有
…5分

再过点
作
∥
交
于点
，则
∥平面
且
，∴ 平面
∥平面
…7分 ∴
∥平面
．从而满足
的点
即为所求．……………8分

（Ⅲ）∵
平面
，∴
是
与平面
所成的角，且
．

∴
………………………………………………………………9分

取
的中点
，则


，

平面
，

在平面
中，过
作
，连接
，则
，

则
即为二面角
的平面角………………………10分

∵
∽
，∴
，∵
，且

∴
，
，∴
………12分

20.（本小题满分12分）

已知定点
，
，满足
的斜率乘积为定值
的动点
的轨迹为曲线
.

(1)求曲线
的方程;

(2)过点
的动直线
与曲线
的交点为
，与过点
垂直于
轴的直线交于点
，又已知点
,试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并证明。

20.(1)设
，得
.………4分

(2)设
代入
得

得
………6分

当
时,
,
, ………8分

又得
,PD的中点
，圆M的半径
.

圆心M到时直线PF距离
，………11分

当
.

综上，直线PF与BD为辅直径的圆M相切。………12分

21.（本小题满分12分）

已知函数

，且
.

（1）若
在
处取得极值，求
的值；