辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题

答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：高三备课组 校对人：高三备课组

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 在复平面内，复数
（为虚数单位）对应的点位于 （ ）

A.第一象限　 B. 第二象限　 C. 第三象限　 D. 第四象限

3.给出下列命题：

①若命题“p或q为真命题，则命题p或命题q均为真命题”

②命题
．则
，使
；

③已知函数
是函数
在R上的导数，若
为偶函数，则
是奇函数；

④已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件；

其中真命题的个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4. 用0,1,
,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）

A.243 B.252 C.261 D．279

5. 函数
的零点个数为（ ）

A. 1 B.2 C. 3 D.4

6.已知二次函数
如果
，且
，则它的图像只能是（ ）

7.函数
的最大与最小值分别为M、N，则（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知函数
在区间
上是增函数,则常数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知函数
，若
存在零点，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）

A.
B.
C.
D.

11.当0

A.
B.

C.
D.

12.设函数
的定义域为实数集R，且
，若
，则函数
的最小值是

A.1 B.3 C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上

13.
.

14.当
时，不等式
恒成立，则的取值范围是

15.
的展开式中
的系数是_______.

16. 函数
对于
总有
≥0 成立，则= 　 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分） 已知函数
的定义域集合是A,函数
的定义域集合是B

（1）求集合A、B

（2）若
,求实数的取值范围．

18.（本小题满分12分）

某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取
件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在
的产品为合格品，否则为不合格品．图是甲流水线样本的频率分布直方图，表是乙流水线样本频数分布表．

（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取
件产品，求其中合格品的件数
的数学期望；

（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取件，求其中超过合格品重量的件数的分布列；

（Ⅲ）由以上统计数据完成下面
列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关” ．

甲流水线

乙流水线

 合计



合格品









不合格品









合　计











0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



附：下面的临界值表供参考：

(参考公式：
，其中
)

（本小题满分12分）

设函数
是定义域为的奇函数．

（1）求
的值；

（2）若
，且
在
上的最小值为
，求的值．

20.（本小题满分12分）

已知函数
，其中
，为自然对数的底数

讨论函数
的单调性

求函数
在区间[0,1]上的最大值

21.已知函数
.

（1）若
在其定义域上为增函数，求的取值范围；

（2）若
存在极值，试求的取值范围，并证明所有极值之和小于
；

（3）设
，求证：
.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H. 求证：

（Ⅰ）C、D、F、E四点共圆；

（Ⅱ）
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合． 直线
的参数方程是
（为参数），曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
相交于
、
两点，求
、
两点间的距离．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）若不等式
的解集为
，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若
+
对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

答案

1

2

3

4

5

6

7

8



D

A

B

B

B

A

D

c



9

10

11

12

13

14

15

16



A

C

B

B





1560

4





17.解：（1）A＝

B＝

（2）由A
B＝B得A
B，因此

所以
,所以实数ａ的取值范围是

18.解：（Ⅰ）由图１知，甲样本中合格品数为
，

则的取值为
；且
，于是有：

0

1

2













∴的分布列为

……………………8分

（Ⅲ）
列联表如下：

∵
＝

∴　有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．………12分

19.解：（1）由题意，对任意
，
，

即
，

即
，
，

因为为任意实数，所以
．

（2）由（1）
，因为
，所以
，

解得
．

故
，
，

令
，则
，由
，得
，

所以
，

当
时，
在
上是增函数，则
，
，

解得
（舍去）．

当
时，则
，
，解得
，或
（舍去）．

综上，的值是．

20.

21.22. （1）函数的定义域为
.
.

法一：∵函数在定义域上单调递增，∴

，

而
，所以只需
.

法二：
，∵函数在定义域上单调递增，∴只需
对任意
恒成立.设函数
考虑函数函数的图像得：①
或②


.

（2）若
存在极值，则只需
在
上有变号零点，

即
.设函数的零点为
，则
.

由
得
.

（3）分析：不等式的左边无法求和，转向对式子整体的观察：

右边可否拆成n项？答案是肯定的——

所以考虑能否证明不等式
之后在利用同向相加原理证明所要证明的不等式成立.

证明：设函数
，

则当
时，

所以函数
在
上为单调递增函数，故
.

即
，
.因为
，所以
.

于是
，
，……，
.

由不等式同向相加原理得证

成立.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）连接BC

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC +∠CEF=180°.

∴C，D，F，E四点共圆. …………5分

（Ⅱ）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，

∴GH2=GC·GD.

由C，D，F，E四点共圆，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD.∴
=
，

即GC·GD=GE·GF，

∴CH2=GE·GF. ………… 10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）由
得，
，两边同乘得，

，

再由
，
，
，得

曲线的直角坐标方程是
………… 5分

（Ⅱ）将直线参数方程代入圆方程得，
，

，
，

．………… 10分

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）由
得
，解得

又已知不等式
的解集为
，

所以
，解得a=2. ………………………………5分

（Ⅱ）（法一）当a=2时，
，设
，

于是

所以当
时，
；

当
时，
；

当x>2时，
。

综上可得，g(x)的最小值为5

从而若
，即
对一切实数x恒成立，

则m的取值范围为
……………………………10分

（法二）当a=2时，

设
。

由
（当且仅当
时等号成立），

得
的最小值为5

从而，若
，即
对一切实数x恒成立。

则m的取值范围为
………………………………10分