江西省遂川中2015届高三上学期第一次月考数学（理）试题

一、选择题（每小题5分）

1.若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(　D 　)

A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN)

2.函数
的定义域是(　D 　)

A.[1，＋∞) B. C. D.

3.已知
，
，则
（ B ）

A.－
B.
C.－
D.

4.由直线
，
，
与曲线
所围成的封闭图形的面积为(　D　)

A. B.1 C. D.

5.已知命题：关于的函数
在[1，＋∞)上是增函数，命题：关于的函数
在R上为减函数，若且为真命题，则的取值范围是(　C　)

A.≤
B.
C.
≤ D.

6.在△ABC中，
分别为角A，B，C所对的边，若
，则此三角形一定是(　C 　)

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形

7.设点
是函数
与
的图象的一个交点，则
的值为（ A ）

A. 2 B. 2+
C. 2+
D. 因为
不唯一，故不确定

8.已知
是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设
，
，
，则
的大小关系是(　B 　)

A.
B.
C.
D.

9. 下列四个图中，函数y=
的图象可能是( C )

10. 某同学在研究函数
＝
＋
的性质时，受到两点间距离公式的启发，将
变形为
＝
＋
，则
表示
（如图），

①
的图象是中心对称图形；

②
的图象是轴对称图形；

③函数
的值域为[
，＋∞）；

④方程
有两个解．上述关于函数
的描述正确的是（ C ）

A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④

参考答案

1-5：DDBDC 6-10：CABCC

二、填空题（每小题5分）

11.曲线
在点
处的切线方程为 x-2y+1=0 .

12.设
，满足
， 则
－2 ____.

13.已知
,
，则

14.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
，则
的值是 4 ____

15.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数
的图象上的动点，该图象在P处的切线
交y轴于点M，过点P作
的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为，则的最大值是__  ____.

三、解答题

16.设命题p：函数
在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数
的值域是R.如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求的取值范围.

[解答] p为真命题?f′(x)＝3x2－a≤0在[－1,1]上恒成立?a≥3x2在[－1,1]上恒成立?a≥3.

q为真命题?Δ＝a2－4≥0恒成立?a≤－2或a≥2.

由题意p和q有且只有一个是真命题.

p真q假??a∈?；p假q真??a≤－2或2≤a<3.

综上所述：a∈(－∞，－2]∪[2,3).

17.在锐角△ABC中，三个内角A、B、C所对的边依次为a、b、c.设向量
，
，
，且
.

(1)若
，求△ABC的面积；

(2)求
的最大值.

[解答] (1)由m·n＝－得cos2A－sin2A＝－，即cos2A＝－，∵0

∴2A＝，∴A＝.设△ABC的外接圆半径为R，由a＝2RsinA得2＝2R，∴R＝2.由b＝2RsinB，得sinB＝，又b

∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB

＝×＋×＝，

∴△ABC的面积为S＝absinC＝×2×2×＝3＋.

(2)解法一：由a2＝b2＋c2－2bccosA得b2＋c2－bc＝12，

∴(b＋c)2＝3bc＋12≤32＋12，∴(b＋c)2≤48，

b＋c≤4，当且仅当b＝c时取等号，∴b＋c的最大值为4.

解法二：由正弦定理得：＝＝＝＝4，

又B＋C＝π－A＝，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin＝4sin，当B＋＝，即B＝时，b＋c取最大值4.

18.已知二次函数
有两个零点
和
，且
最小值是
，函数
与
的图象关于原点对称.

(1)求
和
的解析式；

(2)若
在区间[－1,1]上是增函数，求实数
的取值范围．

[解答] (1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0).

f(x)图象的对称轴是x＝－1，

∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1.

∴f(x)＝x2＋2x.

由函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，

∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.

(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.

①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；

②当λ<－1时，h(x)图象的对称轴是x＝，

则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；

③当λ>－1时，同理则需≤－1，

又λ>－1，解得－1<λ≤0.

综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0].

19.已知函数f(x)＝2cos.

(1)求f(x)的值域和最小正周期；

(2)若对任意x∈，使得m[f(x)＋]＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围.

[解答] (1)f(x)＝2sincos－2cos2

＝sin－

＝sin－cos－

＝2sin－.

∵－1≤sin≤1.

∴－2－≤2sin－≤2－，T＝＝π，

即f(x)的值域为[－2－，2－]，最小正周期为π.

(2)当x∈时，2x＋∈，

故sin∈，

此时f(x)＋＝2sin∈[，2].

由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋＝－，

即≤－≤2，

即解得－≤m≤－1.

即实数m的取值范围是.

20.已知函数
，
.

(1)求证：函数
在
上单调递增；

(2)对?
，
≤
恒成立，求的取值范围.

[解答] (1)证明：f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna，

由于a>1，故当x∈(0，＋∞)时，lna>0，ax－1>0，所以f′(x)>0，

故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

(2)由(1)可知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，

故函数f(x)在(－∞，0)上单调递减.

所以，f(x)在区间[－1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增.

所以f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，

f(－1)＝＋1＋lna，f(1)＝a＋1－lna，

f(1)－f(－1)＝a－－2lna，

记g(x)＝x－－2lnx，g′(x)＝1＋－＝2≥0，

所以g(x)＝x－－2lnx递增，故f(1)－f(－1)＝a－－2lna>0，

所以f(1)>f(－1)，于是f(x)max＝f(1)＝a＋1－lna，

故对?x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|max＝|f(1)－f(0)|＝a－lna，

a－lna≤e－1，所以1

21.已知函数
（
为常数，
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的单调区间；

（Ⅲ）设
,其中
为
的导函数.

证明：对任意
.

（Ⅰ）
，依题意，
为所求.

（Ⅱ）此时

，记
，
，所以
在
，
单减，又
，

所以，当
时，
，
，
单增；

当
时，
，
，
单减.

所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，
.

（Ⅲ）
，先研究
，再研究
.

① 记
，
，令
，得
，

当
，
时，
，
单增；

当
，
时，
，
单减 .

所以，
，即
.

② 记
，
，所以
在
,
单减，

所以，
，即

综①、②知，
.