江西省遂川中2015届高三上学期第一次月考数学（文）试题

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。)

1.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，d}，N＝{a，c，e}，则N∩(?UM)＝(　　)

A.{c，e} B.{a，c} C.{d，e} D.{a，e}

设函数f(x)＝log2x，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则实数c的取值范围为(　　)

A.c< B.c≤ C.c≥ D.c>

4.若
，则
=( )

A.
B.
C.
D.

5. 若f(x)＝x3＋x2＋4x－1，其中θ∈[0，]，则导数
(－1)的取值范围是(　　)

A.[3，6] B.[3，4＋] C.[4－，6] D.[4－，4＋]

6.若sin α＋cos α＝ (0<α<π)，则tan α＝(　　)

A.－ B. C.－ D.

7. 在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　)

A.等边三角形 B.不含60°的等腰三角形

C.钝角三角形 D.直角三角形

8.设函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为(　　)

A.(－∞，2) B. C.(0，2) D.

9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像如图X1所示，则f(x)

的解析式及S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值分别为(　　)

图X1

A.f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2013 B.f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2013

C.f(x)＝sinx＋1，S＝2014 D.f(x)＝sinx＋1，S＝2014

10.若函数
满足
，且
时，
，函数
，则函数
在区间
内的零点的个数为

A.6 B.7 C.8 D.9

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案直接填入相应题号的横线上)

11.已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋2}，若A?B，则a的值为__________.

12.设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋x，则f(－1)＝__________.

13.如图X2所示，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点.若点A，B的坐标分别为和，则cos(α＋β)的值为__________.

图X2

14.若命题“?x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是__________.

15.设函数f(x)＝
＋1(∈Q)的定义域为[－b，－a]∪[a，b]，其中0＜a＜b，且f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值的和是__________.

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题12分)已知函数

(1)求
的定义域；

(2)判断
的奇偶性；

(3)求使
的x的取值范围。

17.(本小题12分)设函数f(x)＝cos＋2sin2.

(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；

(2)当x∈时，求f(x)的值域.

18.(本小题12分)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且

tan A＋tan B＝.

(1)求角B的大小；

(2)若＋＝3，求sin Asin C的值.

19.(本小题12分) 已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，

且当x∈(0，1)时，f(x)＝.

(1)求f(x)在区间[－1，1]上的解析式；

(2)若存在x∈(0，1)，满足f(x)>m，求实数m的取值范围.

20.(本小题13分)已知函数
的图像关于y轴对称，其图像过点
，且在
处有极大值
。

(1)求
的解析式；

(2)对任意的
，不等式
恒成立，求t的取值范围。

21.(本小题14分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx.

(1)若函数f(x)在区间[－1，1)，(1，3]内各有一个极值点，当a2－b取最大值时，求函数f(x)的解析式.

(2)若a＝－1，在曲线y＝f(x)上是否存在唯一的点P，使曲线在点P处的切线l与曲线只有一个公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

一、选择题 ABACA CDBDC

二、填空题 11. －1 12.－2. 13.－. 14.2≤m≤6. 15.－5或9

三、解答题 16.(12分)(1)
(2)奇函数

(3)

且

17.(12分)(1)易知f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1－cos(2x＋π)＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin2x＋＋1，所以f(x)的最小正周期T＝π.

由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋，k∈Z.

(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，所以f(x)的值域为.

18.(12分)(1)易知tan A＋tan B＝＋＝＝＝.∵tan A＋tan B＝，∴＝，

∴cos B＝.又∵0

(2)∵＋＝＝，且＋＝3，

∴＝3，即＝3，∴＝2.

又＝＝＝，∴sin Asin C＝.

19.(12分)(1)当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1).由f(x)为R上的奇函数，

得f(－x)＝－f(x)＝＝，∴f(x)＝，x∈(－1，0).

又由f(x)为奇函数，得f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)，且f(－1)＝f(1)，

∴f(－1)＝0，f(1)＝0，

故f(x)在区间[－1，1]上的解析式为f(x)＝

(2)∵x∈(0，1)，

∴f(x)＝＝＝1－.

又∵2x∈(1，2)，∴1－∈(0，).若存在x∈(0，1)，满足f(x)>m，则m<，

故实数m的取值范围为(－∞，).

20.(13分)解：
关于y轴对称，
为偶函数，即

得
，图像过A(0，－1)得

又
处有极大值

且
，解得
，

(2)

当且仅当

即
的取等号
的取值范围为

21.(14分)(1)因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在区间[－1，1)，(1，3]内各有一个极值点，所以x2＋2ax＋b＝0在区间[－1，1)，(1，3]内各有一个实数根.

设两个实根分别为x1，x2(x1

当x1＝－1，x2＝3，即a＝－1，b＝－3时，等号成立，此时a2－b取最大值4.

故函数的解析式为f(x)＝x3－x2－3x.

(2)假设存在点P(x0，y0)符合条件.

由f′(x)＝x2－2x＋b，得f(x)在点P处的切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，即y＝(x－2x0＋b)x－x＋x.

令g(x)＝f(x)－(x－2x0＋b)x－x＋x＝x3－x2－(x－2x0)x＋x－x，则g(x0)＝0.

由题设知，g(x)＝f(x)－(x－2x0＋b)x－x＋x有唯一的零点x0，且在x＝x0两边附近的函数值异号，所以x＝x0一定不是g(x)的极值点.

易知g′(x)＝x2－2x－x＋2x0＝(x－x0)(x＋x0－2).

若x0≠2－x0，则易知x＝x0和x＝2－x0都是g(x)的极值点，不合题意；

若x0＝2－x0，即x0＝1，则g′(x)＝(x－1)2≥0，

此时函数g(x)＝x3－x2－(x－2x0)x＋x－x＝x3－x2＋x－＝(x－1)3，其在R上单调递增.

当x>1时，g(x)>0；当x<1时，g(x)<0.故函数g(x)有唯一的零点x0＝1，且在x0＝1两边附近的函数值异号.故在曲线y＝f(x)上存在唯一的点P(1，f(1))，使曲线y＝f(x)在点P处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个公共点.